豫西名校2015届高三上学期期末考试

文科数学参考答案

一、选择题

CACAB DDABC DB

二、填空题

13.-7 14.  15.  16. ①②③

三、解答题

17.解析：（1）
，

;……………………2分

化简得
，

所以，
，……………………5分

.……………………6分

（2）由（1）可知A，B为锐角，则
，………………7分

.

(当且仅当
成立) ………………10分

所以
的最大值为－，此时三角形的形状为等腰三角形. ……………………12分

18．解：有放回的抽取三次的所有基本事件有4×4×4=64个，…………………2分

（1）事件A“a,b,c完全相同”包含其中的4个（1,1,1）（2,2,2）（3,3,3）（4,4,4）.

所以，P(A)＝= .…………………4分

因为事件A与事件B为对立事件，

所以，P(B)＝1－P(A)＝1－= .…………………6分

(2)事件C“a·b＝c”包含（1,1,1）,（1,2,2）,（1,3,3）,（1,4，4）,（2,1,2）,（3,1,3）,（4,1,4）,（2,2,4）,共八个基本事件, …………………10分

所以，P(C)＝＝. …………………12分

19.(1)证明：取SC中点N，连DN，MN可得，MN∥BC 且MN＝BC，

又AD∥BC 且AD=BC，

所以，MN∥AD且MN=AD，

所以四边形AMND为平行四边形. …………3分

那么，AM∥DN，

DN平面ADC，

AM平面ADC，…………………5分

所以，AM∥平面SDC. …………………6分

(2)解法(一):

=
=

=

=


444=
…………………12分

解法(二):

因为B到面CDM的距离是S到面CDM的距离相等,

所以
=
=
=


444=
.…………………12分

20.（1）∵

N（9,6）

有点N在抛物线上，36=18p,

解得p=2.

所以该抛物线的方程为
. …………4分

（2）由题意得直线AB,CD的斜率都存在且不为零

F(1,0) 设直线AB的方程为y=kx-k，

由

消去x得：

，
① …………6分

AB⊥CD，用
反代上式中的k,同理可得：
，
②……8分

…………10分

将①，②代入，可得

（当且仅当k=1，且
时，“=”成立）

的最小值是8. 　　…………12分

21.解析： （1）
.

当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
,

当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
.

当
时，
为常函数，不具有单调性。 …………3分

（2）

，

. …………4分

若
存在单调递减区间，则
在
上有解

在
上有解

在
上有解，即
使得
成立 …………６分

令
则
在t=1时，

的取值范围为
…………8分

（3）结论：
　　　…………9分

证明如下：由（Ⅰ）可知，当
时

在
上单调递减，

当
时，
，

，

　 …………10分

又

令
，则

　　　　　　　　　　　　　　　　
（放缩）

　
　　　　…………12分

请考生从第22、23、24题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

∴AD2＝DE×DG，AD2＝DF×DH,

∴DE×DG＝ DF×DH, ∴
，

又∵∠EDF＝∠HDG，

∴△DEF∽△DHG.………………………4分

（2）连结O1 A，O2A，

∵AD是两圆的公切线，

∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，

∴DG⊥DH，∴AD2＝ O1A×O2A，………………………8分

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD＝12x，

∵AD2＝DE×DG，AD2＝DF×DH，

∴144x2＝DE（DE＋18x），144x2＝DF（DF＋32x）

∴DE＝6x，DF＝4x，∴
.………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

.解：（1）曲线C的直角坐标方程为
，

即
.

直线
的普通方程为x－y＋4
＝0. ……………… 4分

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的
倍，得

，

即
.

再将所得曲线向左平移1个单位，得
：
. ………………6分

又曲线
的参数方程为
（
为参数），设曲线
上任一点

则

d＝
.（其中
）……9分

点到直线
的距离的最小值为
.…………10分

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解：（1）①当
时，原不等式化为
，解得，
；

∴

②当
时，原不等式化为
，无解；

③当
时，原不等式化为
，解得，
；

∴

综上，不等式
的解集为{x|
或
}.…………5分

（2）
，…………7分

要证
成立

只需证
，

即证
，

即证
，

即证
，

即证
，

即证
，

又
，

∴
.

故原不等式成立. …………10分