上饶市重点中学2015届高三六校第一次联考数学试卷
（理科）

命题学校：上饶市一中 主命题： 徐积现 副命题：吕忠

时间：120分钟 总分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．设全集
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. i为虚数单位，
, 则的共轭复数为 ( )

A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i

3. 已知点
，
在第二象限，则的一个变化区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 如图，函数
的图象为折线
，设
， 则函数
的图象为（ ）

5.在
中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足
,
,
, 则b+c的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

6.已知函数
的两个极值点分别为
，且

,点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数
的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 设
则多项式
的常数项是( )

A.-332. B.332 C. 166 D. -166

8 .若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是（ ）

A.4 B.
C.2 D.

9.已知集合
,定义映射
,则从中任取一个映射满足由点
构成
且
的概率为( )

A.
B.
C.
D.

10.
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

11. 已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于点、，O为坐标原点。若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为
，则p=（ ）。

A．1 B．
C.2 D.3

12.已知
是方程
的两个不等实根，函数
的定义域为
，
，若对任意
，恒有
成立，则实数a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
. D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13. 若一个底面为正三角形、侧棱与

底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的外接球的体积 。

14. 运行右图的程序框图,若结束时输出结果不小于3,则t的取值范围是_____.

15. 求“方程
的解”有如下解题思路:

设
,则f(x)在R上单调递减,,且

f(2)=1,以方程有唯一解x=2.类比上述解法,方程

的解为

16.下列结论：

①若命题
，命题

则命题
是真命题；

②已知直线
则

的充要条件是
；

③若随机变量
,则
,

④全市某次数学考试成绩
,

则直线
与圆
相切或相交。.

其中正确结论的序号是_______（把你认为正确结论的序号都填上）

三.解答题(本大题共6小题，满分70分. 17-21题是必做题，请在22和23题中只选做一题，多做则按22题给分.）

17. 已知单调递增的等比数列
满足：
，且

是
的等差中项.

(1) 求数列
的通项公式；(2) 若
，
，求使
成立的正整数的最小值.

18.某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究.他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数,并得到如下资料:

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日



温差x (度)

10

11

13

12

9



发芽数y(颗)

15

16

17

14

13



参考数据
,其中

(1)请根据3月1日至3月5日的数据,求出y关于x的线性回归方程.据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃,请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数.(结果保留整数)

(2)从3月1日至3月5日中任选两天,记种子发芽数超过15颗的天数为X,求X的概率分布列,并求其数学期望和方差.

19. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
,E，F分别是BC, PC的中点.

（1）证明：AE⊥PD;

（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正

切值为
，求二面角E—AF—D的余弦值.

20. 已知直线
所经过的定点恰好是椭圆
的一个焦点,且椭圆
上的点到点的最大距离为8.

（1）求椭圆
的标准方程；

(2)设直线AB过点且与椭圆
相交于点A，B；判断
是否为定值，若是求

出这个定值，若不是说明理由。

21.设函数
.

（1）若函数
在
处有极值，求函数
的最大值；

（2）①是否存在实数
，使得关于的不等式
在
上恒成立？若存在，

求出
的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式
.

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数）.在极

坐标系（与直角坐标系
取相同的单位长度，且以原点
为极点，以轴正半轴

为极轴）中，圆
的方程为
.

（1）求圆
的直角坐标方程；

（2）设圆
与直线
交于
两点，若点坐标为
，求
.

23.（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲

已知函数

（1） 解关于的不等式

（2）若不等式
恒成立，求实数的取值范围。

 上饶市重点中学2015届高三六校第一次联考

数学试卷
（理科）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 6.B

7. A 8 .D 9. C 10. B 11. C 12 A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.
14.
15. -1或2 16. ① ④

三.解答题：

17. 解：(1)设等比数列
的首项为
，公比为

依题意，有
，代入
，

可得
，
，

解之得
或
又数列
单调递增，

，
，

数列
的通项公式为
…………………6分

(2)
，
，

，

两式相减，得

即
，即

从而
故正整数的最小值为5.

使
成立的正整数的最小值为5. …………………12分

18. 解（1）b=0.7, a=7.3

所以所求的线性回归方程为:
…………………6分

当x=11时,y=15,即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗.

(2)X的可能取值为0,1,2,其分布列为:

X

0

1

2



p









所以:
…………………12分

19. （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又 BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

(2)：因为AE⊥平面PAD,所以过A作
于点H, 又EH与平面PAD所成最大角,所以要求EH取最小值。EH与平面PAD所成最大角的正切值为
.设AB=BC=2.

即
，所以PA=2

由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（
，-1，0），C（
，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（
，0，0），F（
），

所以

设平面AEF的一法向量为

则
因此
取

设平面AFD的一法向量为

同理可求得

所以 cos＜m,n＞=

因为 二面角E-AF-D为锐角，

所以所求二面角的余弦值为
。

20. 解: （1）由
,

得
,则由
, 解得F（3,0）…………… 2分

设椭圆
的方程为
, 则
,解得

所以椭圆
的方程为
.…………… 5分

（2）.当AB的斜率不存在时，
=
，为定值。…………… 7分

当AB的斜率存在时，设AB的方程为
，

由
可得

所以
=
=
=

综上可得：
=
为定值。.…………… 12分

21.解：（1）由已知得：
，且函数
在
处有极值

∴
，即
∴

∴
,当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；∴函数
的最大值为

（2）①由已知得：

(i)若
，则
时，

∴
在
上为减函数，

∴
在
上恒成立；

(ii)若
，则
时，

∴
在
上为增函数，

∴
，不能使
在
上恒成立；

(iii)若
，则
时，
，

当
时，
，∴
在
上为增函数，

此时
，∴不能使
在
上恒成立；

综上所述，
的取值范围是
.

②由以上得：
,取
得：

令
，

因此
.又
，]

故

.

综上可得：不等式
.

22.解：（1）圆
的方程为
，即
；

把
代入上式得

所以圆
的直角坐标方程

（2）设
直线l的普通方程为：
，

代入上述圆方程消去y得：
，解得

所以
.=

=

=
=

23.（1）不等式解集为
……………………5分

(2).因为
所以由函数的图像可得