2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测

高三理科数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．

1.已知
是虚数单位，则
=（▲）

A. 1 B.
C.
D
.

答案：B

命题意图：复数及其运算.

简单题

2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：B

命题意图：函数及其性质.

简单题

3. 已知
,
且
，则
是
的（▲）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：C

命题意图：函数性质与充要条件.

简单题

4. 右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为
，则在判断框中应填入关于
的判断条件是（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：C

命题意图：程序框图

简单题

5. 已知函数
的图象经过点
,则该函数的一条对称轴方程为（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：D

命题意图：三角函数及性质

简单题

6. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（▲）

A.15 B. 16 C.17 D.18

答案：A

命题意图：三视图及几何体的体积计算

中档题

7.已知直线
（t为参数）与曲线
交于
两点，则
（▲）

A．1 B.
C. 2 D.

答案：C

命题意图：极坐标与参数方程

简单题

8. 函数
的图象大致为（▲）

答案：B

命题意图：函数性质与图象

中档题

9. 某次联欢会要安排
个歌舞类节目，
个小品类节目和
个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：D

命题意图：排列组合应用

难题

解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.

（1）小品1，相声，小品2.有

（2）小品1，小品2，相声.有

（3）相声，小品1，小品2.有

共有
种，选D．

10.已知
为双曲线
的右焦点，点
，过
，
的直线与双曲线的一条渐近线在
轴右侧的交点为
，若
，则此双曲线的离心率是（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：A

命题意图：圆锥曲线及其性质

难题

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

11.设随机变量
服从正态分布
，且
，则正数
= ▲ .

答案：2

命题意图：正态分布

简单题

12. 已知二项式
的展开式的系数之和为
，则展开式中含
项的系数是 ▲ .

答案：10

命题意图：二项式定理

简单题

13. 如图，在边长为
(
为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为 ▲ .

答案：

命题意图：定积分，几何概型及指、对数函数。

中档题

14. 设
为正实数，则
的最小值为 ▲ .

答案：

命题意图：基本不等式

难题

15. 如图，四边形
是正方形，以
为直径作半圆
（其中
是
的中点），若动点
从点
出发，按如下路线运动：

，其中

，则下列判断中：

①不存在点
使
；

②满足

的点
有两个；

③
的最大值为3；

④ 若满足
的点
不少于两个，则
.

正确判断的序号是 ▲ .（请写出所有正确判断的序号）

答案：②③

命题意图：向量运算、线性规划及直线与圆的位置关系

难题

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (本小题满分12分)

在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知

（Ⅰ）求证：
成等差数列；

（Ⅱ）若
求
.

命题意图：三角函数与解三角形

简单题

解：（Ⅰ）由正弦定理得：

即
………………2分

∴

即
………………4分

∵

∴
即

∴
成等差数列。 ………………6分

（Ⅱ）∵
∴
……………8分

又
………………10分

由（Ⅰ）得：
∴
………………12分

17. (本小题满分12分)

为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试。

（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.

优秀人数

非优秀人数

总计



甲班









乙班



30





总计

60







（Ⅱ）现已知
三人获得优秀的概率分别为
，设随机变量
表示
三人中获得优秀的人数，求
的分布列及期望
.

附:
，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



命题意图：2×2列联表，概率，分布列及期望

中档题

解（Ⅰ）2×2列联表如下

优秀

非优秀

总计



甲班

40

20

60



乙班

20

30

50



总计

60

50

110



由
算得，

，

所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关…………………5分

（Ⅱ）设
成绩优秀分别记为事件
，则

∴随机变量
的取值为0，1，2，3……………………………………………6分

,

……………………………………………10分

所以随机变量
的分布列为：

X

0

1

2

3



P











E(X) =0×+1×+2×+3× =  …………………………………………………………12分

18. (本小题满分12分)

如图，已知
,
分别是正方形
边
,
的中点，
与
交于点
，
都垂直于平面
，且
，
是
中点．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

命题意图：空间点、线、面的位置关系

中档题

解：法1：（Ⅰ）连结
，∵
平面
，
平面
，∴

又∵
，
，∴
平面
，

又∵
分别是
、
的中点，∴
，

∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
；……………………………5分

（Ⅱ）连OM，∵
平面
，
平面
，

∴

，

在等腰三角形
中，点
为
的中点，∴
，

∴
为所求二面角
的平面角，

设
，∵点
是
的中点，∴
，

所以在矩形
中，可求得
，
，
………………………………9分

在
中，由余弦定理可求得：

，

∴二面角
的余弦值为
．…………12分

法2：（Ⅰ）同法1；…………………………………5分

（Ⅱ）设
,建立如图所示的直角坐标系，

则
,
，
，
，
，

∴
，
，则

，

设平面
的法向量为
，

则
，令
，得
，

即
，

同理可求平面
一个法向量
，…………………………………………9分

∴
，

∴二面角
的余弦值为
． ……………………………………12分

19. (本小题满分12分)

已知数列
的前
项和
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，是否存在
，使得
、
、
成等比数列．

若存在，求出所有符合条件的
值；若不存在，请说明理由．

命题意图：数列综合应用

中档题

（Ⅰ）解法1：当
时，
， ……………1分

即
． …………………………………………3分

所以数列
是首项为
的常数列． ……………………4分

所以
．

所以数列
的通项公式为
．…………………………6分

解法2：当
时，
， ………………………1分

即
． …………………………………………………3分

．………4分

因为
，符合
的表达式． ……………………………………………5分

所以数列
的通项公式为
． …………………………6分

（Ⅱ）假设存在
，使得
，
，
，成等比数列，

即
．……………………………………………………………………7分

因为
，

所以
……………………10分

. ……………………………………11分

这与
矛盾．

故不存在
，使得
成等比数列．………………………12分

20. (本小题满分13分)

已知椭圆
的左、右顶点分别为
,
，右焦点为
，点
是椭圆
上异于
，
的动点，过点
作椭圆
的切线
，直线
与直线
的交点为
，且当
时，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）当点
运动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并证明你的结论．

命题意图：圆锥曲线与圆综合应用

难题

解：（Ⅰ）依题可知
、
，…………1分

由
，得，
，………2分

化简得
，由
得
……………4分

故所求椭圆
的方程是
.………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,

在点
处的切线方程为
. 以
为直径的圆与直线
相切．

证明如下：由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
.

则点
坐标为
，
中点
的坐标为
． ………………………6分

由
得
．

设点
的坐标为
，则由韦达定理：
． ……………8分

所以
，
．

因为点
坐标为
，

（1）当
时，点
的坐标为
，直线
的方程为
，点
的坐标为
.

此时以
为直径的圆
与直线
相切 ………………9分

（2）当
时，直线
的斜率
.

所以直线
的方程为
,即
． …………11分

故点
到直线
的距离

综上得，当点
运动时，以
为直径的圆与直线
相切．……………………13分

21. (本小题满分14分)

已知函数
，其中
为常数．

（Ⅰ）若
的图像在
处的切线经过点（3,4），求
的值；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）当函数
存在三个不同的零点时，求
的取值范围．

命题意图：函数与导数综合应用

难题

解：由题知

（Ⅰ）

……………………………2分

…………………………4分

（Ⅱ）
，令
，

则
……………………………………7分

∴
时，
单调递减，

故
时，
，

∴当
时，
…………………………………………9分

（Ⅲ）

①

∴
至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………10分

②

∴
至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………11分

③

此时，
在
上递减，
上递增，
上递减，所以，
至多有三个零点。因为
在
递增，所以
，又因为
，所以
，使得
，又
，所以恰有三个不同零点：
，所以函数
存在三个不同的零点时，
的取值范围是
。………………………………14分

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