银川唐徕回民中学

2014～2015学年度第二学期第三次模拟考试

高三年级数学试卷（理科）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x∈R| |x|≤2 }，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于(　　)

A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]

2. 如图，在复平面内，复数
对应的向量分别是
则
=（ ）

A．2 B.3 C.
D.

3．已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点在抛物线

的准线上，则双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知向量
等于（ ）

A．1 B．-1 C．
D．-

5. 已知直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）

A．
B.
C.
D.

6． 设不等式组
所表示的区域为
，函数
的图象与
轴所围成的区域为
,向
内随机投一个点,则该点落在
内的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 下列说法正确的是（ ）

A. “
”是“
”的充要条件

B. “
，
”的否定是“

”

C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60

D. 在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若
在
内取值的概率为0.4，则
在
内取值的概率为0.8

8．函数

的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需

将
的图象( )

A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向右平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

9． 执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )

A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9

10. 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），

（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的

正视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．过点（1，1）的直线与圆
相交于A，B两点，

则|AB|的最小值为（ ）

A.
B.4 C.
D. 5

12. 已知函数
若函数
有6个零点，则b的取值

范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 平面向量
与
的夹角为60°，
=(2,0)，|
|=1，则|
+2
|＝

14. 设
，则
的展开式中常数项为

15. △ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且
，BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC

的体积为
，则球O的表面积为__________。

16. 已知
、
、…、
是抛物线
上的点，它们的横坐标依次为
、
、…、
，

F是抛物线的焦点，若
+
+…+
=10，则
_____．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本大题满分12分）

已知
是正项数列，
，且点
（
）在函数
的图像上.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，
，求证：
.

18．（本大题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出
t该产品获利润
元，未售出的产品， 每

亏损
元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了
t该农产品，以
（单位：t，
）表示下一个销售季度内的市场需求量，
(单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.

（Ⅰ）将
表示为
的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润
不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若
，则取
，且
的概率等于需求量落入
的概率）,求利润
的数学期望.

19. （本大题满分12分）

如图，在三棱柱
中，已知
侧面
，
，
，

(Ⅰ)求证：
⊥平面
；

（Ⅱ）设=?
(0≤?≤1)，且平面
与
所成的

锐二面角的大小为30°，试求?的值.

20. （本大题满分12分）

设椭圆C：
的左焦点为F，过点F的直线
与椭圆C相交于A，B两点，直线
的倾斜角为60o,
.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）如果|AB|=
，求椭圆C的方程.

21.（本大题满分12分）

已知函数
，函数
在x=1处的切线
与直线
垂直.

（1）求实数
的值；

（2）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（3）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值.

请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑。（10分）

22. [平面几何证明选讲]

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于P，交BC延长线于点D，

（1）求证：
；

（2）若AC=3，求PA?AD的值.

23．[坐标系与参数方程选修]

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的非负半轴重合，长度单位相同，直线
的参数方程为：
，曲线
的极坐标方程为：
。

判断曲线
的形状，简述理由；

设直线
与曲线
相交于
，
是坐标原点，求三角形
的面积.

24．[不等式证明选讲]

已知函数

求不等式
的解集；

当
]时，关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围。

高三数学（理科）三模参考答案（2014-20015（2））

1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

11

12



D

A

C

A

B

B

D

C

A

B

B

A



13.
14 -540 15
16 2023

17解：（Ⅰ）由已知得
，即
，又
，

所以数列
是以1为首项，公差为1的等差数列，故
.…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，从而
.

.………………………………………8分

因为

∴
.………………………………………………………

18. .解：（I）当X

时，T=500X-300（130-X）=800X-39000.

当X

时，T=500
130=65000.

所以T=

(II)由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120
X
150

由直方图知需求量X

的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

（Ⅲ）依题意可得T的分布列为

TgkstkCom

45000

53000

61000

65000



P

0.1

0.2

0.3

0.4



所以ET=45000
0.1+53000
0.2+61000
0.3+65000
0.4

19解：（1）因为
侧面
,
侧面
，故
,

在
中,
由余弦定理得：

，

所以
， ……3 分

故
,所以
,而
平面
.……5分

（2）由（1）可知，
两两垂直.以
为原点，
所在直线为

轴建立空间直角坐标系. 则
，
,
. ……7分

所以
,所以
,

则
.设平面
的法向量为
，

则由
,得
,即
，

令
，则
是平面
的一个法向量.……10分

侧面
,
是平面
的一个法向量，

.

两边平方并化简得
，

所以
=1或
（舍去）.…………12分

20.解：设
，由题意知
＜0，
＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为
，其中
.

联立
得

解得

因为
，所以
.

即

得离心率
. ……6分

（Ⅱ）因为
，所以
.

由
得
.所以
，得a=3，
.

椭圆C的方程为
. ……12分

21. 解： ∵
，∴
.

∵与直线
垂直，∴
，∴
.

（2）
由题知
在
上有解，
设
，则
，所以只需
故b的取值范围是
. ………8分

，

故所求的最小值是

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