绝密★启用前遵义市普通高中第四教育集团2015届5月联考理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M ∩N等于(　 ) A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 2.在复平面内，复数Z满足 ，则Z的共轭复数对应的点位于 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等差数列 的前 项和为 ，那么 值的是（ ） A．65 B．70 C．130 D．260 4．给出下列四个结论，其中正确的是 ( ) A．若 ，则a0 5.定义行列式运算： .若将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，若 ，则△ABC的形状为 （ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7.设x,y满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为12，则 =（ ） A.4 B. C. D. 8. 设 是定义在 上的恒不为零的函数，对任意实数 ，都有 ，若 ，则数列 的前 项和 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9．已知 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式 的展开式中常数项是（ ） A. -20 B. 52 C. -192 D. -160 10．已知三棱锥O—ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，三棱锥O—ABC的体积为 ，则球O的表面积是（ ） A．64 B．16 C． D．544 11 ．定义在R上的函数 满足f（1）=1，且对任意x∈R都有 ，则不等式 的解集为（ ） A．（1，2） B．（－∞，1） C．（1，+∞） D．（－1，1） 12.过椭圆 上一点 作圆 的两条切线,点 为切点.过 的直线 与 轴, 轴分别交于点 两点, 则 的面积的最小值为( ) A. B. C. 1 D. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 设 则a，b，c的大小关系是_ . 14．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是一个圆内切于一个正三角形，则该几何体的侧视图的面积为　______　。 15．将a, b, c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有_________种. 16．设 是定义在 上的偶函数， ，都有 ，且当 时， ，若函数 在区间 内恰有三个不同零点，则实数 的取值范围是 　______　 。三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）设函数 . （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求 的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数 的图像向右平移 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移 个单位，得到函数 ，求 图像与 轴的正半轴、直线 所围成图形的面积。 18. （本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后进行打分，最高分是10分，上个月该网站共卖出100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0,2），第二组[2,4），第三组[4,6），第四组[6,8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示. （1）分别求第三、四、五组的频率；（2）该网站在得分较高的第三组、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品. (a)已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率； (b)某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品 被购买，求X的分布列和数学期望. 19. （本小题满分12分）如图，在五棱锥 中， , AB//CD,AC//ED,AE//BC, , AB = ,BC =2AE = 4,三角形PAB是等腰三角形. （1）求证：平面PCD⊥平面PAC； （2）求直线PB与平面PCD所成角的大小； 20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆的另一个交点为 ，A、B是椭圆C上位于直线 两侧的动点，且满足直线 与 关于 对称.试探究直线 的斜率是否为定值，请说明理由，并求出四边形 面积的最大值. 21．（本小题满分12分）已知函数 （I）当 时，讨论 在 上的单调性；（II）若 的定义域为 （i）求实数 的取值范围；（ii）若关于 的不等式 对任意的 都成立，求实数 的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. （本小题满分10分）如图在 中， ， 是 的 平分线， 交 于点 ，圆 是 外接圆. (1)求证： 是圆 的切线； (2)如果 ,求 的长. 23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， ，且曲线 上的点 对应的参数 .以 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射 线 与曲线 交于点 . (1)求曲线 的普通方程， 的极坐标方程； (2)若 , 是曲线 上的两点，求 的值. 24. （本小题满分10分）已知 . (1)求 的解集； (2)若 ，对 ， 恒成立，求 的取 值范围. 遵义市普通高中第四教育集团2015届5月联考数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C D B A C D A D B 二．填空题：(13) c ；(14) 6 + ； (15) 12 (16) 三．解答题 17.解（Ⅰ） ， （2分） ∴ . 由 ，得 . 故函数 的单调递减区间是 . （5分）（2） . 当 时，原函数的最大值与最小值的和 ， . （8分）（3）由题意知 （10分） =1 （12分） 18.解：(1)第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1， . .3分 (2)①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6× =3个，而第三组共有100×0.3=30个，所以甲、乙两产品同时被选中的概率为 . .....6分 ②在分层抽样的过程中第四组应抽到6× 人，有 个产品被购买，所以 的取值为0,1,2. 所以 的分布列为： 0 1 2 的数学期望 .....12分 19、(1)证明：在 中，因为 °，BC=4， 所以 因此 ,故 所以 又 平面ABCDE，AB//CD， 所以 又PA，AC 平面PAC，且PA∩AC=A， 所以CD 平面PAC，又 平面PCD， 所以平面PCD 平面PAC. .....6分 (2)解法一： 因为 是等腰三角形， 所以 因此 又AB//CD， 所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离。 由于CD 平面PAC，在 中， 所以PC=4 故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离， 所以B到平面PCD的距离为 设直线PB与平面PCD所成的角为 ， 则 ， 又 ,所以 解法二： 由（1）知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为 轴， 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 是等腰三角形，所以 又 ， 因此 ，所以 因此 设 是平面PCD的一个法向量， 则 解得 ，取 又 ，设 表示向量 与平面PCD的法向量 所成的角， 则 ，所以 , 因此直线PB与平面PCD所成的角为 .....12分 20． 解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为 ，焦距为 ，………………1分由条件可得： …………………① …………………②，又 …………………③ 由①②③解得: , ………………………………………………4分故所求椭圆的标准方程为 .………………………………………5分（Ⅱ）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .设 ， . 直线 的方程为 ，……………………………………6分联立 整理得 . ， ， ………7分将上式中的 用 代入可得 ， ……8分 ，……………10分 直线 的斜率为定值1. 而四边形 的面积 ，故四边形 面积的最大值为16.…………………………………………12分 21、解：（I）∵ ， ∴ ∴ 由 解得 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减（II）（i）∵ 的定义域为 ∴当 时， 恒成立即 恒成立， ，∴ （ii）由 ，得 即 在 上恒成立当 时，∵ ，当 时， 而 ，∴原不等式不可能恒成立当 时，要使 在 上恒成立 ∵ 设 ∴ 又∵当 时， ∴当 时， ，∴ 在 上是减函数，∴ ∴ 在 上恒成立，即原不等式恒成立综上所述： （或：分离参数求 的取值范围） 因为 是圆 半径 的外端，所以 是圆 的切线....5分 23.解：(1)将 及对应的参数 = 代入 （ 为参数）， 得 解得 . 所以曲线 的普通方程为 . .......2分设圆 的半径为R，则圆 的极坐标方程为 ，将点 代入得 ，解得 ，所以圆 的极坐标方程为 . ...........5分 (2)曲线 的极坐标方程为 ，将 代入得 所以 . 10分 24.(1)解： 当 时， 得 ，即 ； 当 时， 得 ， 即 ； 当 时， 得 ， 得 无解； 综上 ，所以 的解集为 .......5分 (2) 如图 ，（或用零点分区间法）