宝安中学2014-2015高三测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数
为实数时，则实数a的值是 （ ）

A．3 B．－5 C．3或－5 D．－3或5

2．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是 （ ）

A．存在x∈Z使x2+2x+m>0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m>0

C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m>0

3．已知数列{an}的前n项和Sn=3n+k（n∈N*，k为常数），那么下面结论正确的是（ ）

A．k为任意实数时 ，{an}是等比数列

B．k=－1时，{an}是等比数列

C．k=0时，{an}是等比数列；

D．{an}不可能是等比数列.

4．函数
的程度框图如图所示，则

①②③的填空能完全正确的是 （ ）

A．①y=0；②x=0；③y=1；

B．①y=0；②x<0；③y=1；

C．①y=－1;②x>0；③y=0；

D．①y=－；1②x=0；③y=0.

5．将一张坐标纸折叠一次，使点
与
重合，则与点
重合的点是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．若函数
的图象关于直线x=
对称，则
的值为 （ ）

A．0 B．
C．kπ（k∈Z） D．kπ+
（k∈Z）

7．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量
=（a，b），
=（1，－2），则向量
与向量
垂直的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．如图所示，b、c在平面α内，a∩c=B，b∩c=A，且

a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB

上（C，D，E均异于A，B），则△CDE是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

9．已知变量x，y满足
的最大值为 （ ）

A．4 B．5 C．2 D．

10．对于集合M、N，定义M—N={x|x∈M，且x
N}，M
N=（M－N）∪（N－M），设A={t|t=x2－3x,x∈R}，B={x|y=lg(－x)}，则A
B= （ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11.设x、y∈R+ 且
=1,则x+y的最小值为________.

12.曲线
在点
处的切线方程为___________________。

13.已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称，则C2的准线方程是 ____________.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14.直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1： (θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．

15. 如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．

圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．则AB∶AC为__________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知

求
的值.

17.（本题满分12分）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路为A-C-D-B,乙线路为A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段（其余路段均不堵车）。假设这三条路段堵车与否相互独立。这三条路段的堵车概率x在
上变化，y在
上变化。在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元。而每堵车1小时，需多花汽油费20元。路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据。

表1

 CD段

 EF段

 GH段



 堵车概率

 x

 y





平均堵车时间（单位：小时）

 a

 2

 1



表2

堵车时间（单位：小时）

 频数





(1,2]

(2,3]

(3,4]

(4,5]

 8

6

38

24

24



（1）求CD段平均堵车时间a的值；

（2）若 只考虑所花汽油费的平均值大小，为节约，求选择走甲线路的概率。

18．（本小题满分14分）

在正方体
中，
为
的中点，
为
的中点，AB=2．

（I）求证：
平面
；

（II）求证：
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积．

19．(本小题满分14分)

在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝．

（Ⅰ）证明数列{－1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求证：ai(ai－1)＜3．

20．(本小题满分14分)

设不等式组表示的平面区域为D．区域D内的动点P到直线x＋y＝0和直线x－y＝0的距离之积为1．记点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点F(2，0)的直线与曲线C交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

21. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在上单调递减且满足

f(0)＝1，f(1)＝0.

(1)求a的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值．

参考答案及评分标准

A DBDB DBCBC.

11.16， 12.
， 13. x=
； 14. 1 15.

16.解：

17.(1)利用频率直方图求平均数的方法知

A=0.5×0.08+1.5×0.06+2.5×0.38+(3.5+4.5)×0.24=3

(2)走甲线路汽油费的平均值为500+60x元，走乙线路汽油费的平均值为
元，若只考虑所花汽油费的平均值大小而选择走甲线路，则
，故所求概率为
表示的区域与
表示的区域面积之比，

即

18．

（I）证明：连结
，则
与
的交点为
，

为正方形的对角线，故
为
中点；

　连结MO，
分别为
的中点，

　
，　 　　　　　　　　　　　　　　… 2分

平面
，
平面
　　　　　 … 3分

　
平面
．　　　　　　　　　　　　 … 4分

（II）

，
平面
，且
平面
，

；且
，
　
平面
………6分

平面
，
　
， ……………… 7分

连结
，在
中，
，

，
，

∴
，
　　 　 …… 10分

又
，

平面
； …… 11分

法二：
, ∠ODM=∠B1BO=Rt∠,

∴ΔMDO∽ΔOBB1 , ∴∠MOD=∠OB1B,
，∴
．

（Ⅲ）求三棱锥
的体积

，

　　　　　
． …………… 14分

法二：可证
平面
，则

19．（Ⅰ）解：由a1＝2，an＋1＝得，对n∈N*，an≠0．

从而由an＋1＝两边取倒数得，＝＋．

即－1＝(－1)，

∵a1＝2，－1＝－．

∴数列{－1}是首项为－，公比为的等比数列．…………………………………4分

∴－1＝－·＝－．

∴＝1－＝．∴an＝．

故数列{an}的通项公式是an＝．……………………………………………………6分

（Ⅱ）证法一：∵an＝，

∴ai(ai－1)＝ (i＝1，2，…，n) ，

当i≥2时，

∵ai(ai－1)＝＜＝＝－，……11分

∴ai(ai－1)＝a1(a1－1)＋a2(a2－1)＋…＋an(an－1)

＝＋＋…＋

＜＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝2＋1－

＝3－

＜3．………………………………………………………………………………14分

证法二：∵an＝，

∴ai(ai－1)＝ (i＝1，2，…，n) ，

当i≥2时，

∵ai(ai－1)＝＜＝(－)，………………11分

∴ai(ai－1)＝a1(a1－1)＋a2(a2－1)＋…＋an(an－1)

＝＋＋…＋

＜＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝2＋(1＋－－)

＜2＋＜3．………………………………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．

设动点P(x，y)，则?＝1，

即|x2－y2|＝2．………………………………4分

∵P∈D．

∴x＋y＞0，x－y＞0，即x2－y2＞0．

∴x2－y2＝2(x＞0)．

即曲线C的方程为－＝1(x＞0)．…………6分

（Ⅱ）解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴以线段AB为直径的圆的圆心Q(，)，

∵以线段AB为直径的圆与y轴相切，

∴半径r＝|AB|＝．

即|AB|＝x1＋x2．①……………………………………………………………………8分

∵曲线C的方程为－＝1(x＞0)，

∴F(2，0)为其焦点，相应的准线方程为x＝1，离心率e＝．

根据双曲线的定义可得，

＝＝，

∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2．②…………………12分

由①，②可得，x1＋x2＝(x1＋x2)－2．

由此可得x1＋x2＝4＋2．

∴线段AB的长为4＋2．……………………………………………………………14分

（Ⅱ）解法二：∵曲线C的方程为－＝1(x＞0)，

∴F(2，0)为其焦点，相应的准线为l：x＝1，离心率e＝．

分别过A，B作AA??l，BB??l，垂足分别为A?，B?．

设AB中点Q，过Q点作QQ??y轴，垂足为Q?．

由双曲线的定义可得，＝＝，

∴|AF|＝|AA?|，|BF|＝|BB?|．…………………10分

|AB|＝|AF|＋|BF|＝(|AA?|＋|BB?|)

根据梯形中位线性质可得

|AA?|＋|BB?|＝2(|QQ?|－1)．

∴|AB|＝?2(|QQ?|－1)．①…………………………12分

∵以线段AB为直径的圆与y轴相切，

∴|QQ?|＝|AB|．②

把②代入①得|AB|＝2(|AB|－1)，

解得|AB|＝4＋2．……………………………………………………………………14分

（Ⅱ）解法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵直线AB过点F(2，0)，

当AB?x轴时，|AB|＝2，以线段AB为直径的圆与y轴相离，不合题意．

∴设直线AB的方程为y＝k(x－2)．

代入双曲线方程x2－y2＝2得，

x2－k2(x－2)2＝2，即(1－k2)x2＋4k2x－(4k2＋2)＝0，

∵直线与双曲线交于A，B两点，

∴k≠±1．

∴x1＋x2＝，x1x2＝．

∴|AB|＝＝

＝……………………………………………………9分

∵以线段AB为直径的圆与y轴相切，

∴圆的半径|AB|与圆心到y轴的距离(x1＋x2)相等．

即＝(x1＋x2)．

∴＝?．………………………………………12分

化简得k4－2k2－1＝0，

解得k2＝1＋（k2＝1－不合，舍去）．

经检验，当k2＝1＋时，直线与曲线C有两个不同的交点。

∴|AB|＝x1＋x2＝＝4＋2．……………………………………………………14分

21．解：(1)由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，

则f(x)＝ex，

f′(x)＝ex.

依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.

当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图像开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0

当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合条件；

当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合条件；

当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．

故a的取值范围为0≤a≤1.

(2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，

g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.

(i)当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0上取得最小值g(0)＝1，在x＝1上取得最大值g(1)＝e.

(ii)当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0取得最大值g(0)＝2，

在x＝1取得最小值g(1)＝0.

(iii)当00.

①若≥1，即0

在x＝1取得最大值g(1)＝(1－a)e.

②若<1，即

则当

当

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