2015年高三模拟训练

数学试题(理科)

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共6页。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合

A.
B.
C.
D.

2.已知i为虚数单位，
为纯虚数，则复数
的模等于

A.
B.
C.
D.

3.经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是

A.
B.

C.
D.

4.设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列四个命题正确的是

A.若
B. 若

C.若
D. 若

5.已知函数
向左平移
个单位后，得到函数
，下列关于
的说法正确的是

A.图象关于点
中心对称 B.图象关于
轴对称

C.在区间
单调递增 D.在
单调递减

6.一算法的程序框图如图所示，若输出的
，则输入的x的值可能为

A.
B.0

C.1 D.5

7.能够把圆O：
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
称为圆O的“亲和函数”，下列函数：

①
，②
，③
，④
是圆O的“亲和函数”的是

A.①③ B.②③

C.②④ D.①④

8.已知
，若
的必要条件是
，则
之间的关系是

A.
B.
C.
D.

9.设双曲线
的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若

，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

10.若直线
与不等式组
表示的平面区域无公共点，则
的最小值为

A.
B.
C.2 D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
表示函数
的导数，在区间
上，随机取值a，则
的概率为__________.

12.若一个底面是正三角形的直三棱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_________.

13.将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法和数为__________.

14.已知
__________.

15.已知
是定义在
上的单调函数，
的导函数，若对
，都有
，则方程
的解所在的区间是________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

已知函数
，

（I）求
的最小正周期和单调递增区间；

（II）在
中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
成等差数列，且
，求
及a的值.

17. （本小题满分12分）

如图，直四棱柱
的底面是菱形，侧面是正方形，
，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱
于点F，B1F=2BF.

（I）求证：平面
平面
；

（II）求二面角
的平面角的余弦值.

18. （本小题满分12分）

下图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.

（I）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在下图中作出这些数据的频率分布直方图；

（II）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良.某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设
是此人停留期间空气质量优良的天数，求
的数学期望.

19. （本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为
.

（I）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（II）求证：
.

20. （本小题满分13分）

已知抛物线
的焦点为椭圆
的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A,B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D（异于A,B）两点.

（I）求椭圆标准方程；

（II）求四边形ADBC的面积的最大值；

（III）若
是椭圆上的两动点，且满足
，动点P满足
（其中O为坐标原点），是否存在两定点
使得
为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数
和直线
.

（I）当曲线
在点
处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；

（II）若对于任意的
恒成立，求m的取值范围；

（III）求证：
.








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