高三文科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数
满足
，则
的虚部为

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知集合
,则
是
的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

3.设单位向量
的夹角为
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知等差数列
满足
，则下列选项错误的是

（A）
（B）
（C）
（D）

5.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

6.双曲线
的顶点到其渐近线的距离为

（A）
（B）
（C）
（D）

7.周期为4的奇函数
在
上的解析式为
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

8.已知
满足约束条件
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

9.在
中，内角
的对边分别是
，若
，
的面积为
，则

（A） （B） （C） （D）

10.设
为函数
的导函数，已知
，则下列结论正确的是

（A）
在
单调递增 （B）
在
单调递减

（C）
在
上有极大值
（D）
在
上有极小值

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.右面的程序框图输出的
的值为_____________.

12.在区间
上随机取一个点
，若
满足
的概率为
，

则
____________.

13.若点
在函数
的图象上，则
_______.

14.已知
且
，则
的最小值为______.

15.函数
的零点个数为___________.

三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分） 已知向量

，函数
，若函数
的图象的两个相邻对称中心的距离为
.

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）将函数
的图象先向左平移
个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
倍，得到函数
的图象，当
时，求函数
的值域.

17.（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,某月的产量如下表(单位:辆):

类别

A

B

C



数量

400

600





按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A类轿车的概率;

（Ⅲ）用随机抽样的方法从A,B两类轿车中各抽

取4辆，进行综合指标评分，经检测它们

的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较

稳定.

18.（本小题满分12分）已知
是各项都为正数的数列，其前
项和为
，且
为
与
的等差中项.

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
求
的前
项和.

19.（本小题满分12分）如图：
是直径为
的半圆，
为圆心,
是
上一点，

且
.
，且
，
，
为
的中点，
为
的中点，
为
上一点,且
.

(Ⅰ)　求证： 面
⊥面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

20.（本小题满分13分）已知函数

.

（Ⅰ）若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，求函数
的极小值；

（Ⅲ）若方程
在
上有两个不等实根，求实数
的取值范围.

21.（本小题满分14分）已知椭圆
的离心率
，它的一

个顶点在抛物线
的准线上.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
是椭圆
上两点，已知
，

且
.

（ⅰ）求
的取值范围；

(ⅱ)判断
的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.

高三文科数学试题参考答案

一、选择题 D A D C A, B B D A D

二、填空题

11.
； 12.
； 13.
； 14.
； 15.
；

三、解答题

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

， ----------------------2分

由题意知，
，
， ----------------------3分

. ----------------------4分

由
，

解得：
, ----------------------5分

的单调增区间为
. ----------------------6分

（Ⅱ）由题意，若
的图像向左平移
个单位，得到
，

再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
倍，得到
，------8分

，
， ----------------------10分

， ----------------------11分

函数
的值域为
. ---------------------12分

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)由题意得,
,所以
--------------------3分

(Ⅱ)根据分层抽样可得,
,解得
-------------------4分

∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(A1, A2) (A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3),(B1 ,B2), (B1 ,B3) , (B2 ,B3)共10个,其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个: (A1, A2) ,(A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), ,所以从中任取2辆,至少有1辆A类轿车的概率为
.

----------------------6分（Ⅲ）
,
--------8分

∴
,
----------------------10分

∵
,∴B类轿车成绩较稳定. ----------------------12分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知
，即
，① ----------------------1分

当
时，由①式可得
; ----------------------2分

又
时,有
，代入①式得

整理得
． ----------------------3分

∴
是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得
， ----------------------5分

∵
是各项都为正数，∴
， ----------------------6分

∴
（
）， ----------------------7分

又
,∴
． ----------------------8分

（Ⅲ）
----------------------10分

∴
的前
项和
. ----------------------12分

19．（本小题满分12分）

证明：(Ⅰ)∵
,
,
,∴
,

∴
----------------------1分

又
,∴
⊥平面
----------------------2分

∴
⊥
，

又
⊥
,∴
⊥平面
, ----------------------3分

∵
面

∴面
⊥面
. ----------------------4分

（Ⅱ）连接OQ，在面CFD内过R点做RM⊥CD，

∵O,Q为中点，∴OQ∥DF,且
-----------------5分

∵
　∴RM∥FD,　 ----------------------6分

　又
,∴
,∴
，

∵E为FD的中点，∴
. ----------------------7分

∴
∥
,且

∴
为平行四边形，∵