2015届高三预测金卷（山东卷）

数学理

选择题（每小题 5分，共 50分）

1．若复数
是纯虚数（i是虚数单位，
），则
（ ）

A．1 B．-1 C．
D．0

【答案】A

【解析】

试题分析：若复数是纯虚数，则
，即
，即
,故选A．

考点：复数的概念及运算．

2．已知集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】

试题分析：求出M中不等式的解集确定出M，确定出M的补角，求出M补集与N的交集即可;

由M中不等式变形得：
，

解得：
或
，即M={
|
或
}，∴
，

∵
，∴
，故选：B．

考点：交、并、补集的混合运算

3．下列函数中，在区间
上为增函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】

试题分析：根据二次函数、指数函数、对数函数的单调性，再由复合函数的单调性对各个选项的正确性进行判断，从而得到结论．

由于二次函数
在区间
上是减函数，故排除D．

A、由于函数
由于函数
与
复合而成，由复合函数的单调性知函数
为减函数；

B、由于函数
由于函数
与
复合而成，由复合函数的单调性知函数
为减函数；

故选：C．

考点：函数单调性的判断.

4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
，则判断框中填写的内容可以是 ( )

A．
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】

试题分析：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=
，n=4满足条件，S=
，n=6满足条件，S=
，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为
，故判断框中填写的内容可以是n≤6，

故选C．

考点：程序框图和算法．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的

是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A．48
B．
C．48 D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为4的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为4，所以几何体的表面积为：
．

故选：D学优高考网

考点：本题旨在考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．

6．已知

=
，且

，则则向量
与向量
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】

试题分析：

．

故选B．

考点：向量的数量积的应用．

7．已知△
中，内角A，B，C的对边分别为
,
，
，则△
的面积为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

【答案】C

【解析】

试题分析：
，

.

故选：C．

考点：正余弦定理的运用．

8．已知函数
，则函数
的部分图象可以为 （ ）

【答案】A

考点：函数的图象．

9. 已知双曲线
与函数的图象交于
点
. 若函数
在点
处的切线过双曲线左焦点
，则双曲线的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】

试题分析：设P(x0，
)，函数y=-
的导数为：y′=-
，∴切线的斜率为-
，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（-1，0），∴-
＝
，解得x0=1，∴P（1，-1），可得
，c2=a2+b2．c=1，解得a=
,因此2c＝2，2a＝
，

故双曲线的离心率是
，故选A.

考点：导数的几何意义，双曲线的标准方程与离心率．

10.若对
，不等式
恒成立，则实数
的最大值是（ ）

A.
B.1 C.2 D.

【答案】D

【解析】

试题分析：

因为
，由题意知
，即
对
恒成立，如图y=2ax与y=
相切时，a取到最大值，设切点坐标为
，则
，

解得
，所以a的最大值为
，

故选D.

考点：基本不等式，函数单调性．

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 函数
(
)的单调递增区间是__________.

【答案】

【解析】

试题分析：∵函数y=
sinx+
cosx=sin（x+
），由? 2kπ-
≤x+
≤2kπ+
，k∈z，可得 2kπ-
≤x≤2kπ+
，k∈z．学优高考网故函数y=
sinx+
cosx=sin（x+
）的单调增区间是[2kπ-
，2kπ+
]（k∈Z），

又因为
,所以y=
sinx+
cosx=sin（x+
）的单调增区间是
，

故答案为：
．

考点：两角和的正弦公式，正弦函数的图像及性质．

12.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线
的左、右焦点，△ABC 的顶点C在双曲线的右支上，则
的值是

【答案】

【解析】

试题分析：a-b=CB-CA=-2，c=AB=4,所以
．

考点：双曲线的几何性质，正弦定理．

13．已知等比数列
的前
项和
，则
的通项公式是 .

【答案】

【解析】解：因为等比数列
的前
项和
，可见公比为3，首项为2，因此可知通项公式是

考点：等比数列通项和前n项和的关系.

14．设
,
，则
的最小值是 .

【答案】

【解析】

试题分析：先根据条件
，原式转化为
，

利用基本不等式即可求出最小值．

，当且仅当
取等号；

考点：基本的不等式.

15. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为
、
，则
的值是 ．

【答案】

考点：两角和与差的正切函数；球内接多面体．

三、解答题（共6小题，75分）

16．(本小题满分12分)

已知函数
,其中
.

（Ⅰ）求
最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）在锐角
中,内角
的对边分别为
，已知
,
，求
边上的高
的最大值.

【答案】（Ⅰ）
；
；（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题
，

所以f（x）的最小正周期为
，

令
得对称轴方程为
；

（Ⅱ）由题可得

由余弦定理得

即
（当且仅当b=c时取等号）

设BC边上的高为h，由三角形等面积法得

.

即
的最大值为
.

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

17．(本小题满分12分)

已知
的三个角
的对边分别为
，且
成等差数列，且
。数列
是等比数列，且首项
，公比为
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前
项和
.

【答案】（1）
；（2）
.

【解析】

试题分析：

（1）因为
成等差数列,

（2）因为
，则利用错位相减法得到和式。

（1）
成等差数列,


----4分

（2）
----8分

,

----12分．

考点：等差数列和数列求和.

18.（本小题满分12分）

若定义在
上的函数
满足
，

，
R.

（Ⅰ）求函数
解析式；

（Ⅱ）求函数
单调区间.

【答案】（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）
，所以
，即
．

又
，所以
，

所以
． ……………………………………4分

（Ⅱ）
，

.

，

①当
时，
，函数 在
上单调递增； .……………8分

②当
时，由
得
，

∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增．

综上，当
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． .……………12分

考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性及最值．

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝
，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点
分别为AB和PD中点.

(Ⅰ)求证：直线AF
平面PEC ；

(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）
.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴
. …………2分

∵
，∴
，

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， ……4分

∵
，

∴直线AF
平面PEC. 　　　　 　……………6分

(Ⅱ)
，
.

如图所示，建立坐标系，

则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(
,0,0),

A(
，
，0)，
，

∴
，
. …8分

设平面PAB的一个法向量为
.

∵
，
，∴
，取
，则
，

∴平面PAB的一个法向量为
. …………………………10分

设向量
∵
，

∴
，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为
.　 　.…………………………12分

考点：线面平行的判定定理，空间向量法求线面角的三角函数值．

20.（本小题满分13分）

　　某校A,B两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行射击训练，每人射击10次，击中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



A班

9

7

8

6

5



B班

7

8

9

7

4



　 （Ⅰ）从统计数据看，A,B两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？

　 （Ⅱ）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的击中次数，求A班同学击中次数低于B班同学击中次数的概率.

【答案】（1）A班的成绩比较稳定；（2）
.

【解析】