河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（二）

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

· 如果事件A，B互斥，那么

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

· 如果事件A，B相互独立，那么

P（AB）＝P（A）
P（B）

· 球的表面积公式 S＝

球的体积公式 V＝

其中R表示球的半径





一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
，i是虚数单位，若
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）函数
的单调递增区间是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）已知变量x，y满足的不等式组
表示的是一个直角三角形围成的

平面区域，则实数k的值为

（A）
（B）0或
（C）
（D）0或

下列说法中错误的是

命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

（B）若
则“
”是“
”的充要条件

（C）已知命题p和q，若
为假命题，则
与
中必一真一假

（D）若命题p：
，则
：

（5）已知双曲线
的右焦点为
，直线
与一条渐近线

交于点A，若
的面积为
(O为原点)，则抛物线
的准线方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）若
的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线
与曲线

围成的封闭区域的面积为

（A）
（B）12 （C）
（D）36

如图，在边长为1的正三角形
中，
分别为边
上的动点，且满足

，
，其中
，
分别是
的

中点，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）若定义在
上的函数
满足：

对任意的
，都有
，则称函数
为

“H函数”. 给出下列函数： ①
； ②
；

③
； ④
其中函数
是“H函数”的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（二）

数 学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2． 用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

3． 本卷共12小题，共110分。

题 号

二

三

总 分







（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）





分 数





















得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.













（9）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分(单位：分)

若甲运动员的中位数为
，乙运动员的众数为
，则
的值是______________．

（第9题图）

（第10题图）

（10）某程序框图如图所示，则输出的S的值是______________．

如图，已知
是圆
的切线，
是切点，直线
交圆
于
两点，
是

的中点，连接
并延长交圆
于点
，若
，

则
．

（第11题图） （第12题图）

（12）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ．

（13） 在以O为极点的极坐标系中，直线
与圆

(
为参数) 交于M，N两点，则线段MN的长度为_____________．

（14）已知函数
，
对
，
，

使
成立，则实数
的取值范围是______________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）













已知函数
，其中
，若
的

最小正周期为
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，角
的对边分别是
，且满足

，求函数
的取值范围．

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）













现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为
．

（Ⅰ）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；

（Ⅱ）若
分别表示用汉语，英语回答问题的人数，记
，求随机变量
的概率分布和数学期望
．

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）













如图，四棱锥
的底面
是菱形，
，
是
的

中点．

（Ⅰ）若
，求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）设点
在线段
上，若
，求证：
∥平面
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面
⊥平面
，且

，

求二面角
的大小．

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）













已知椭圆
的离心率为
，以椭圆上任一点与左，右焦点

为顶点的三角形的周长为
．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线
过原点
，直线
与直线
相交于点
，
，且
⊥
，

直线
与椭圆交于
两点，问是否存在这样的直线
，使
成立．

若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）













已知
为数列
的前
项和，
(n∈N*)，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）设数列
满足
，求证：
．

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）













设函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
有两个零点，求满足条件的最小正整数
的值；

（Ⅲ）若方程
有两个不相等的实数根
，求证：
．

请将答案写在答题纸上

河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（二）

数 学 答 案（理）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

B

D

C

A

 C

C

B





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）8 ； （10） ； （11）
；

（12）
； （13）2 ； （14）
．

解答题：本大题共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

． …… 3分

，
． …… 4分

由
， …… 6分

得
． …… 7分

∴
的单增区间为
…… 8分

（Ⅱ）由正弦定理得，
，

∴
.

∵

， ∴
．

又
，
…… 10分

． …… 11分

．
． …… 13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件
，

则
． …… 4分

（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，2，4． ……5分

，

，

，

∴随机变量X的分布列为：

X

0

2

4



P











…… 11分

∴
． …… 13分

（17）（本小题满分13分）

解: （Ⅰ）∵四边形
为菱形，
，

∴
为正三角形.

又
为
中点，∴
⊥
． …… 1分

∵
，
为
的中点，

∴
⊥
． ………… 2分

又
，∴
⊥平面
． .…… 3分

∵
?平面
，

∴平面
⊥平面
． .…… 4分

（Ⅱ）连接
交
于点
，连接
，

由
∥
，可得
∽
，∴
．

又
，∴
． ∴
∥
． .…… 6分

∵
?平面
，
平面
，

∴
∥平面
． .…… 8分

（Ⅲ）∵
，
为
的中点，

∴
⊥
．

又平面
⊥平面
，平面

平面

，

∴
⊥平面
． .……9分

以
为坐标原点，分别以
所在的直线为x轴，y轴， z轴，