高三理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数
满足
，则
的虚部为

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知集合
，则
是
的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

3.设单位向量
的夹角为
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知等差数列
满足
，则下列选项错误的是

（A）
（B）
（C）
（D）

5.双曲线
的顶点到其渐近线的距离为

（A）
（B）
（C）
（D）

6.已知
满足约束条件
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

7.周期为4的奇函数
在
上的解析式为
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

8.已知
是不同的直线，
是不同的平面，以下命题正确的是

①若
∥
，
，则
∥
；②若
，
∥
，则
；③若
∥
，则
∥
；④若
，
∥
，
∥
，则
；

（A）②③ （B）③ （C）②④ （D）③④

9.在
中，内角
的对边分别是
，若
，
的面积为
，则

（A） （B） （C） （D）

10.设
为函数
的导函数，已知
，则下列结论正确的是

（A）
在
单调递增 （B）
在
单调递减

（C）
在
上有极大值 （D）
在
上有极小值

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行

抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型

号产品总数为1800，则该批次产品总数为________.

12.右面的程序框图输出的
的值为_____________.

13.已知
且
，则 的

最小值为______.

14.若 ， 则
_________.

15.函数
的零点个数为___________.

三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）已知向量

，

函数
，若函数
的图象的两个相邻对称中心的距离为
.

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）若将函数
的图象先向左平移
个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
倍，得到函数
的图象，当
时，求函数
的值域.

17.（本小题满分12分）一汽车4S店新进A,B,C三类轿车,每类轿车的数量如下表:

类别

A

B

C



数量

4

3

2



同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.

（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;

（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A,B,C三种型号的车辆数分别记为
，记
为
的最大值，求
的分布列和数学期望.

18.（本小题满分12分）已知
是各项都为正数的数列，其前
项和为
，且
为
与
的等差中项.

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
求
的前
项和
.

19.（本小题满分12分）如图：
是直径为
的半圆，
为圆心，
是
上一

点，且
.
，且
，
，
为
的中点，

为
的中点，
为
上一点,且
.

(Ⅰ)　求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成二面角的余弦值.

20.（本小题满分13分）已知函数

.

（Ⅰ）若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，求函数
的极小值；

（Ⅲ）若存在实数
使
在区间
且
上有两个不同的极值点，求
的最小值.

21.（本小题满分14分）如图，过原点
的直线
分别与
轴，
轴成
的角，点
在
上运动，点
在
上运动，且
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设
是轨迹
上不同两点，且
，

（ⅰ）求
的取值范围；

(ⅱ)判断
的面积是否为定值？若是,求出该

定值，不是请说明理由.

高三理科数学试题参考答案

一、选择题 D A D C B, D B B A B

二、填空题

11.
； 12.
； 13.
； 14.
； 15.
；

三、解答题

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

， ----------------------2分

由题意知，
，
， ----------------------3分

. ----------------------4分

由
，

解得：
, ----------------------5分

的单调增区间为
. ----------------------6分

（Ⅱ）由题意，若
的图像向左平移
个单位，得到
，

再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
倍，得到
，------8分

，
， ----------------------10分

， ----------------------11分

函数
的值域为
. ---------------------12分

17．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为
,

----------------------4分

（Ⅱ）随机变量
的取值为2，3，4. ----------------------6分

∴

∴

∴

∴其分布列为

2

3

4













----------------------10分

数学期望为
----------------------12分

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意知
，即
，① ----------------------1分

当
时，由①式可得
; ----------------------2分

又
时,有
，代入①式得

整理得
． ----------------------3分

∴
是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得
， ----------------------5分

∵
是各项都为正数，∴
， ----------------------6分

∴
（
）， ----------------------7分

又
,∴
． ----------------------8分

（Ⅲ）
----------------------9分

当
为奇数时，

当
为偶数时，

∴
的前
项和
. ----------------------12分

19．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD

∵O,Q为中点，∴OQ∥DF,且
-----------------2分

∵
　∴RM∥FD,　

　又
,∴
,∴

∵E为FD的中点，∴
. ----------------------4分

∴
∥
,且

∴
为平行四边形，∵
∥

又

平面
,

平面
,　　∴
∥平面
. ----------------------6分

（Ⅱ）∵