2015年七校联合体高三理数交流测试题

命题人：深圳市宝安中学 2015年5月

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
，那么
等于

A．
　 B．

C．
D．

2．已知函数
，则
是

　 A．奇函数 B． 偶函数

C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

3． 设平面
与平面
相交于直线
，直线
在平面
内，直线
在平面
内，且
⊥
，

则“
⊥
”是“
⊥
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知数列
的前
项和
，则数列
的前10项和为

A．
　 B．
C．
D．

6．若实数
、
满足
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．已知区域
，区域
，在
内随机投掷一点
，则点
落在区域
内的概率是

A．
　 　B．
　 　C．
　　 D．

8. 已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是他们的一个公共点，且
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为

A.
B.
C.3 D.2

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．二项式
的展开式中，
的系数是
，则实数
＝_____．

10．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了
名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是
，则身高在
以下的频率为＿＿＿＿＿．

11．若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是 ．

12．过双曲线

的一个焦点
作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段
(
为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．

13．如图，三条平行直线
把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线
到
的距离相等．点
在直线
上，点
在直线
上，
为平面区域内的点，且满足
．

若
所在的区域为④,则
的取值范围是是 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．

14．（极坐标与参数方程选做题）点(2，)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

15．（几何证明选讲选做题）如图,已知
和
是圆的两条弦,过点
作圆的切线与
的延长线相交于
.过点
作
的平行线与圆交于点
,与
相交于点
,
,
,
,则线段
的长为____________.

三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位
所得函数的图象关于直线
对称.

①求
的最小值；

②已知点
是函数
的图象上的一点,求
的值.

17．（本小题满分12分）

某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织．为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．

（I）求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率；

（Ⅲ）设随机变量
为甲、乙、丙三个学生参加A社团的人数，求
的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图1，在矩形
中，
，
，将
沿矩形的对角线
翻折，得到如图2所示的几何体
，使得
＝
．

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ) 若在
上存在点
，使得
，求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
，已知
.

求
及
；

设
，若对一切
，均有
，求实数
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知函数

（1）求
的最小值；

（2）设不等式
的解集为
，且
，求实数
的取值范围；

（3）设
，证明：
.

21．（本小题满分14分）

设椭圆
：
的左、右焦点分别是
，下顶点为
，线段
的中点为
（
为坐标原点），如图．若抛物线
：
与
轴的交点为
，且经过
．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）设
，
为抛物线
上的一动点，过点N作抛物线
的切线交椭圆
于P、Q两点，求
面积的最大值．

参考答案

一、选择题： BABC CCBA

二、填空题: 9．
；　 10．
； 　 11．
；　

12．
； 　13．
； 14. 1 15.

三、解答题

16、解 ①
…………2分

将
的图象向左平移m个单位得函数

其对称轴为
∴

∴
………………6分

（由

得到
也可）

②∵
∴
…8分

令
,则
,
,

∴
…12分

17.解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，

故有5×5×5=125（种） ……………………………………………………3分

（Ⅱ）三名学生选择三个不同社团的概率是：
…………………5分

∴三名学生中至少有两人选择同一个不同社团的概率是：
……6分

（Ⅲ）由题意

∴
的分布列为

0

1

2

3















……………………………………………………………………………………10分

∴数学期望
……………………12分

18解：（Ⅰ）当
时，
，
，

∴
，又
，

∴
平面
，而
平面
，

∴
．　　　　……………………6分

（Ⅱ）如图，以
为原点，
所在直线为
轴，
所

在直线为
轴，建立空间直角坐标系，

由（Ⅰ）知
，又
，

∴
平面
，

∵
平面
，∴平面
⊥平面
，

过
作
，则
轴，　　　　　　　　 ……………………8分

在
中，
，
，可得
．

故
，∵
，∴
为
中点，∴
．

设平面
的法向量为
，

则
∴
　即
…………10分

取
，则
，又平面
的法向量为
， ……12分

则
＝
＝
．

故二面角
的余弦值为
．　　　　 ……………………14分

19. 解：（1）依题意，
时，
，
时，
.
2分

，①

时，
，②

①
②，得
，
.
4分

上式对
也成立，
.
5分

（也可先猜测，然后用数学归纳法证明）

（2）由（1）
，当
时，
，
7分

，
,
8分

.
,
数列
是等比数列.
9分

则
.
10分

随
的增大而增大，
，
11分

依题意，得
，
12分

解得，

或
，即
.
14分

20. （1）解：
的导数
. 令
，解得
；令
，解得
.……………………2分

从而
在
内单调递减，在
内单调递增. 所以，当
时，
取得最小值
. ……………………3分

（2）解：因为不等式
的解集为
，且
，

所以对于任意
，不等式
恒成立.

由
，得
.

当
时，上述不等式显然成立，故只需考虑
的情况.

将
变形为
， ……………………5分

令
，则
的导数
，

令
，解得
；令
，解得
.

从而
在
内单调递减，在
内单调递增. 当
时，
取得最小值
，

实数
的取值范围是
. ……………………8分

（3）证明：由（Ⅰ）得，对于任意
，都有
，即
.

令
， 则
.

即

.……………………11分

.

，
. ……………………14分

21.解：（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．

令y=0得
即
，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．

所以
．于是椭圆C1的方程为：
．……………………4分

（Ⅱ）设N（
），由于
知直线PQ的方程为：

． 即
．

代入椭圆方程整理得：
,

=
,

,
,……………………6分

故

．……………………8分

设点M到直线PQ的距离为d，则
．……………………10分

所以，
的面积S

当
时取到“=”，经检验此时
，满足题意．

综上可知，
的面积的最大值为
．……………………14分

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org