广东省梅州市2015届高三5月总复习质检（二模）

数学文试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．

1、已知复数
，则

A. ｜z｜＝ 2　　　 B.z的实部为1 C.z的虚部为一1 D.z的共轭复数为1＋i

2.己知集合A＝｛
}, B＝{
}，则

A. A
B＝R 　　　B、
　　C. A
B 　　D. A
B

3.下列函数中，定义域为R且为增函数的是

　A、
　　　B、
　　　　　C、
　　D、

4、己知向量
，则m＝

A. 2 　　　　 B. －2 　　　　C、3 　　　　D、－3

5.己知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α　②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，

其中不正确的命题的个数是（　　）

A．0 　　　　　　B．1 　　　C．2 　　　　　D．3

6、已知圆
截直线
＋2＝0所得弦的长度为4，则a的值为

　A、－8　　　　　B、－6　　　　　C、－4　　　　　D、－2

7、阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝6，则输出的值S是

　A、63　　　　　　B、64　　　　　C、127　　　　　D、128

8．设函数
是最小正周期为
的偶函数，则

A．f（x）在（0，
）上单调递减　　　　B．f（x）在（
）上单调递减

C、f（x）在（0，
）上单调递增　　　　D. f（x）在（
）上单调递增

9、已知平面区域D：
，则
的概率是

　A、
　　　　　　　B、
　　　　　　C、
　　　　　　D、

10、定义方程
的实数根
叫做函数f（x）的“驻点”， 如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x），φ（x）=cosx（x∈(
，?π)）的“驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是

　　A、α＜β＜γ　　　B、β＜α＜γ　　　C、γ＜α＜β　　D、α＜γ＜β

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分

（一）必做题（9-13题）

11·已知
，
，则
＝　　　　　　　　·

12.右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为　　　　；方差为　　　　

13、若抛物线
的焦点与双曲线
的左焦点重合，则p的值为　　　　　

（二）选做题(14--15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
（t为参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
则直线l和曲线C的公共点有 个．

15.（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BC=CD,，过C作圆O的切线交AD于E．若AB＝6, ED＝2，则BC= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

己知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，A,B,C成等差数列．

（1）若a＝1，b＝
，求sin C;

(2)若a, b, c成:差数列，求证：△ABC是等边二角形．

17．（本小题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

己知在全部50人中随机抽取1人抽到不喜爱打篮球的学生的概率为
．

（1)请将上面的列联表补充完整；

(2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由：

(3）己知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3还喜欢打乒乓球，B1，B2，B3还喜欢打羽毛球，C1，C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．（下面的临界值表供参考）

18．（本小题满分14分）

在正三角形ABC中，E、F、P分别是-AB、AC、BC边上的点，满足AE: EB＝

CF：FA＝CP：PB＝1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角

A1 -EF-B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）

（1）求证：FP∥平面A1EB

（2）求证：A1E⊥平面BEP；

（3）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．

19.（本小题满分14分）

设数列{
}，其前n项和
，{
}为单调递增的等比数列，
＝512，

。

（1）求数列{
}， {
}的通项；

（2）若
，数列
的前n项和Tn，求证：

20.（本小题满分14分）

已知直线
＋1与椭圆
相交于A，B两点．

(1）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求椭圆的标准方程；

(2)若OA ⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长

的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数f（x）的图象在［a，b］上连续不断，定义

f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，

其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值。若存在最小正整数k，使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，6]上的“k阶收缩函数”。

(Ⅰ)若f(x)=cosx，x∈[0，π]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；(Ⅱ)已知函数f(x)=x2，x∈[-1，4]，试判断f(x)是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；(Ⅲ)已知b＞0，函数f(x)=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

梅州市高三总复习质检试卷（2015.05）

数学（文科）参考答案与评分意见

选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

CABDB，CAACA

填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．7 12. 85(3分),
(2分) 13.-4

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14.1 15.
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解:(1)由
………………………2分

………………………4分

………………………6分

………………………8分

………………………10分

所以△
是等边三角形. ………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：表格填空如下：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



 ………………………2分

（2）∵
. ………………………4分

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关. ………………………6分

(3)从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：

………………………8分

基本事件的总数为18,用
表示“
，
不全被选中”这一事件，

则其对立事件
表示“
，
全被选中”这一事件，

由于
由
,3个基本事件组成，…………10分

所以
. ………………………11分

由对立事件的概率公式得
.………………………12分

18．（本小题满分14分）

(1)证明: ∵CP
PB=CF
FA,

∴FP∥BE. …………1分

∵BE
平面A1EB , ……2分

FP
平面A1EB , ………3分

∴FP∥平面A1EB. ………4分

解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(2) 在图1中，取BE的中点D，连结DF.

∵AE
EB=CF
FA=1
2，

∴AF=AD=2. …………5分

而∠A=
,∴△ADF是正三角形.

又AE=DE=1，∴EF⊥AD. …………6分

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角. …………7分

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.

又BE、EF
平面BEF， BE∩EF=E，

∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP. …………8分

(3)在图2中，∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,

设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，

则可得BP⊥平面A1EQ， ∴ BP⊥A1Q.

则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角， …………………10分

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=
，

∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP.

又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=
. …………………12分

又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=
, ∴∠EA1Q=
.

所以直线A1E与平面A1BP所成的角为
. …………………14分

19.（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
…………1分

当
时，
. …………2分

当
时，也满足
. …………3分

. …………4分

因为
是等比数列，所以
，

则
，解得
. …………5分

又

，

， …………6分

解得
或
（舍去）. …………7分

. …………8分

（2）由（1）可得

…………10分

. …………12分

显然数列
是递增数列，所以
.

即
. …………14分

20.（本小题满分14分）

解:
………………………1分

………………………2分

………………………3分

………………………4分

（2）
…………………5分

………………6分

………7分

…………………8分

………………………9分

………………10分

，