广东省梅州市2015届高三5月总复习质检（二模）

数学理试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知复数
，则

A. ｜z｜＝ 2　　　 B.z的实部为1 C.z的虚部为一1 D.z的共轭复数为1＋i

2.己知集合A＝｛
}, B＝{
}，则

A. A
B＝R 　　　B、
　　C. A
B 　　D. A
B

3.己知向量
，则m＝

A. 2 　　　　 B. －2 　　　　C、3 　　　　D、－3

4.己知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α　②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，

其中不正确的命题的个数是（　　）

A．0 　　　　　　B．1 　　　C．2 　　　　　D．3

5.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的

可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

　A、
　　　　　　B、
　　　　　C、
　　　　　D、

6.为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查100名人士，得到下面列联表：

由己知数据可以求得：
＝7.86，则根据下面临界值表：

可以做出的结论是

A.在犯错误的概率不超过0. 0l的前提下，认为“晚上喝绿茶与失眠有关”

B.在犯错误的概率不超过0. 01的前提下，认为“晚上喝绿茶与失眠无关”

C.在犯错误的概率不超过0. 001的前提下，认为“晚上喝绿茶与失眠有关”

D.在犯错误的概率不超过0. 001的前提下，认为“晚上喝绿茶与失眠无关”

7．设函数
是最小正周期为
的偶函数，则

A．f（x）在（0，
）上单调递减　　　　B．f（x）在（
）上单调递减

C、f（x）在（0，
）上单调递增　　　　D. f（x）在（
）上单调递增

8.关于x的方程x2＋(a＋l)x＋a＋b＋1＝0(
)的两实根为x1，x2，若

0< x1<1

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分

（一）必做题（9-13题）

9·已知
，
，则
＝　　　　　　　　·

10.右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为　　　　；方差为　　　　

11、若抛物线
的焦点与双曲线
的左焦点重合，则m的值为　　　　　

12.己知数列
的通项为
，则它的前项和.Sn＝　　　　　　·

13. 定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：

①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；

②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；

③若a>0，b>0，则ln＋()≥ln＋a－ln＋b；

④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.

其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

（二）选做题(14--15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
（t为参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

则直线l和曲线C的公共点有 个．

15.（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BC=CD,，过C作圆O的切线交AD于E．若AB＝6, ED＝2，则BC= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

己知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，A,B,C成等差数列．

（1）若a＝1，b＝
，求sin C;

(2)若a, b, c成:差数列，求证：△ABC是等边二角形．

17．（本小题满分12分）

有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，己知
＝2时，共有6种坐法．

（1）求n的值；

（2)求随机变量
的数学期望．

18．（本小题满分14分）

在正三角形ABC中，E、F、P分别是-AB、AC、BC边上的点，满足AE: EB＝

CF：FA＝CP：PB＝1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角

A1 -EF-B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）

（1)求证：A1E⊥平面BEP；

(2)求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．

19.（本小题满分14分）

己知函数
。

(1)求函数f (x)的单调区间和极值；

(2)己知函数y＝g(x)的图象．与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．求证：当x＞1

时，f（x)＞g(x).

20.（本小题满分14分）

已知直线
＋1与椭圆
相交于A，B两点．

(1）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求椭圆的标准方程；

(2)若OA ⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长

的最大值．

21．（本小题满分14分）

设函数
。

(1)设
，证明：
在区间（
，1)内存在唯一的零点

(2)设n＝2，若对任意
，求a的取值范围。

(3) 在（1）条件下，设
在（
，1)内零点，试说明数列
的增减性

梅州市高三总复习质检试卷（2015.05）

数学（理科）参考答案与评分意见

本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。

选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

CADBD,AAD

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9.7 10.85(3分),
(2分) 11.-4 12.
13.①③④

(二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14.1 15.
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解:(1)由
………………………2分

………………………4分

………………………6分

………………………8分

………………………10分

所以△
是等边三角形. ………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）
当
时，有
种坐法， ………………………2分

，即
， ……………………3分

，
或
（舍去）．
． ………………4分

（2）
的可能取值是
， ……………………5分

又

，
， …………7分
，
. …………………9分

的概率分布列为：











P













…………………10分

则
． ……………………11分

答：随机变量
的数学期望为3. ……………………12分

18．（本小题满分14分）

解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(1) 在图1中，取BE的中点D，连结DF.

∵AE
EB=CF
FA=1
2，

∴AF=AD=2. …………2分

而∠A=
,∴△ADF是正三角形.

又AE=DE=1，∴EF⊥AD. …………4分

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE. 又BE∩EF=E，

∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP. …………6分

(2)由(1)知, 即A1E⊥平面BEP, BE⊥EF.

…………7分

…………8分

…………9分

……10分

. ……11分

…………12分

……13分

…………14分

19．（本小题满分14分）

………………………2分



1







+

0

-





单调递增

极大值

单调递减




……………………4分

………………………6分

………………………8分

………………………10分

………………………12分

………………………14分

20．（本小题满分14分）

解:
………………………1分

………………………2分

………………………3分

………………………4分

（2）
…………………5分

……6分

………7分

…………………8分

………………9分

…10分

，

………………………11分

………………………12分

………………………13分

由此得

………………………14分

21．（本小题满分14分）

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org