2015届（安徽省）“江淮十校”高三4月联考 数学（理科）

一，选择题

1，在复平面内，复数
（i是虚数单位）对应的点位于

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2，集合A={0,2，a},B={a2},若A∪B=A，则a的值有

A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3，
的展开式中x6y2项的系数是

A.28 B. 84 C. -28 D. -84

4，已知α、β表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“α//β”是“m//β”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不充要条件

5，圆x2+y2=4被直线
截得的弦长为

A.
B.
C.3 D.2

6，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.

B.
C.
D.

7，在等差数列{an}中a1=-2015，其前n项和为Sn，若2S6-3S4=24，则S2015=

A.-2014 B. 2014 C. 2015 D.-2015

8，定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
，则f（2015）的值为

A.-1 B. 0 C. 1 D.2

9，F1、F2分别是椭圆
的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF2，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为

A.
B.
C.
D.

10，我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（25分）

11，已知实数x、y满足
，则z=x-3y的最大值为

12，在极坐标系中，已知点P（2，
），Q为曲线ρ=cosθ上任意一点，则|PQ|的最小值为

13，已知a=
,b=
,c=
,执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

14，已知O为△ABC的外心，AB=2， AC=4，cos∠BAC=
.若
，则x+y=

15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，下列结论正确序号有

①若O为重心，则
;

②若I为内心，则

③若O为外心，则

④若H为垂心，则

⑤若O为外心，H为垂心，则

三，解答题

16，（12分）

已知向量a=(cosx,2cosx),b=(
cosx,-cosx),函数f(x)=a·b

（I）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（II）在△ABC中，若∠A满足
，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值。

17，（12分）

已知函数f(x)=xex,g(x)=x2-x-a,a∈R。

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）若f(x)+g(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围.

18，（12分）

一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如下右图

（I）求证：AE//BF;

（II）过A、D、F三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比。

19，（12分）

某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为
，高一胜高三的概率为
，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜。

若高三获得冠军概率为
，求P。

(II)记高三的得分为X，求X的分布列和期望。

20，（12分）

已知椭圆C：
，点P到两定点A(-1，0).B(1，0)的距离之比为
，点B到直线PA的距离为1。

求直线PB的方程；

求证：直线PB与椭圆C相切；

F1、F2分别为椭圆C的左右焦点，直线PB与椭圆C相切于点M，直线MF2交y轴于点N，求∠MF1N

21，（12分）

已知数列{an}前n项和为Sn，满足2Sn+ n2 = 3an-6,(n∈N*)

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）求证：
，(n≥2，n∈N*)

（III）设
,(n≥2，n∈N*),求证：

理科数学答案

　　一、选择题

　　　　1--5 ACBAD 6—10 BDCAC

二、填空题：

　　11.-1, 12.
, 13.
, 14
, 15 ②④⑤

三、解答题：

16.解：(Ⅰ)

　　　　 ＝

∴函数
的最小正周期为π.…………………………………3分

由
得，

　　　　　　　
，

　　　　　　∴函数
的单调递增区间为
…………6分

　　　　　　(Ⅱ)由
得
，即
，

　　　　　　　因为A为三角形的内角，所以
.…………………………8分

∴
,
…………………………10分

∴
,

所以
周长的最小值为
.………………………………………12分

17.解：(Ⅰ)
,令
得x=－１……………3分

当x<－１时，
；当x>－１时，

　　　所以函数
的递减区间为（－∞，－１]，递增区间为（－１，＋∞）……6分

　　　(Ⅱ)
恒成立等价于

　　　令
，则
……………8分

　　　显然当x>0时，
；当x<0时
；当x＝0时
.

所以
在（－∞，0）上递减,在（0，＋∞）上递增.……………10分

,∴

的取值范围是（－∞，0].………………………………………12分

18.证明：(Ⅰ)由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，

　取BE的中点O，连AO、FO、CO、AC,则BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，

　∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，…………3分

设AB＝2,则AO＝FO＝CO＝
,AC=
,

在△AOC中，
，

在△FOC中，

∴∠AOC+∠FOC＝
,即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，…………………5分

所以ABFE四点共面，又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF.………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，

所以过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，

连BD、FD则
＝

所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分

19.解：(Ⅰ)高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场.

高三胜两场的概率为
，…………………………………2分

　　　三个队各胜一场的概率为
…………………………4分

　　　所以
+
＝

　　　解得
.…………………………………6分

(Ⅱ)高三的得分X的所有可能取值有０、１、２

P(X=0)=
P(X=1)=
　　　 P(X=２)=
……………………9分

所以X的分布列为

…………………11分

故X的期望
＝
…………………………12分

20.解：(Ⅰ)过B作PA的垂线，垂足为C，

　　　∣AB∣＝２，∣BC∣＝１知，∠BAC=
……………１分

在△PAB中，由正弦定理得，

　　　　　
……………２分

　　　∵
　∴
,即直线PB的倾斜角为
或
，……３分

　　　所以直线PB的方程是y=x-1或y=-x+1.…………４分

　(Ⅱ)若PB方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程得，
，

整理得，
，解得，
，……………………７分

所以直线y=x－1与椭圆C相切，同理直线y=－x+1与椭圆C也相切.……………８分

(III)设切点坐标
，由（1）知
，
，

　设
，其中
，

　又设
，则
，
，…………10分

　　　＝
……………………12分

　∴
,故
……………………………………………13分

21. 解：(Ⅰ)由
①得,当n=1时，
=7，…………………………１分

　　　　当
时，
②,

①－②得

　　　
，(
)

　　　∴
，(
).…………………………………3分

又
+2=9，所以数列
是首项为9公比为3的等比数列.

，∴
…………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
＝
＝
…………………………………5分

易知
时，
，∴

(
)…………………7分

=

…………………………9分

(III)
＝
，（
）…………………………………10分

令
，（x≥２）

　
在[２，＋∞）上恒成立，

　所以
在[２，＋∞）上单调递减，

　
∴
，

令
则得
…………………………………12分

即
，

∴

（
）.

故
………………………14分