益阳市2015届高三四月调研考试数 学（理工农医类）

　　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟.满分150分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
（为虚数单位）在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量a=(1,-2),b=(3,0),若（2a+ b）∥(ma- b)，则m的值为

A．
B． C．
D．

3．已知函数
的零点为
， 则
所在的区间是

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

4．设
，则二项式
展开式中含
项的系数是

A．80 B．640 C．-160 D．-40

5．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为70，则判断框内可填入的条件是

A．i错误！未找到引用源。5 B．i <5 C．i 错误！未找到引用源。5 D．i5

6．已知实数、满足不等式组
，则
的最小值是

A．
B．
C．5 D．9

7．给出下列两个命题：命题
：
,当
时，
；命题
：函数
是偶函数.则下列命题是真命题的是

A．
B．
C．
D．

8.十字路口车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，小张上班经过的某十字路口某时间段内车流量变化近似符合函数
（
的单位是辆/分，的单位是分），则下列时间段内车流量增加的是

A．
B．
C．
D．

9．已知直线
：
与双曲线：
有交点，则实数
的取值范围是

A.（-，-
)∪(
，+） B. （-
,
）

C. [-
,
]∪[
,
] D. [-
，
]

10.已知函数
的图象为曲线C，给出以下四个命题：

①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；

②对于曲线C上任意一点
，在曲线C上总可以找到一点
，使
和
的等差中项是同一个常数；

③设函数
，则
的最小值是0；

④若
在区间
上恒成立，则a的最大值是1.其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数).在极坐标系 （与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为
，若直线l平分圆C的周长，则=　　　　．

12．已知
R,
，
，则M的最大值是　　　　．

13．如图，已知ＰA是圆的切线，切点为A，ＰO交圆于点B，圆的半径为2，
，则ＰA的长为　　　　．

（二）必做题（14～16题）

14．如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长

　　为3的正方形，则此几何体的体积等于　　　　.

15．设二次函数
的导函数为
，对任意
R，不等式
恒成立，则
的最大值为　　　　.

16. 已知
为合数，且
，当
的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为
的“衍生质数”.

⑴若
的“衍生质数”为2，则
　　　　 ；

⑵设集合
，
，则集合
中元素的个数是　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且
.

(Ⅰ) 求角A的大小；

(Ⅱ) 若a＝3，
，求△ABC的面积.

18．（本小题满分12分）

　　某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答

错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为
，且相互间没有影响.

（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；

（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为
，试求
的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE.

（Ⅰ）证明：平面DFC平面D1EC；

（Ⅱ）求二面角A-DF-C的平面角的余弦值.

20．（本小题满分13分）

已知数列
的首项
，其前和为
，且满足：
(
N*)．

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)对任意的
N*，
，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分13分）

已知M（
，0），N（2，0），曲线C上的任意一点P满足:
．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)设曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线(直线与x轴不重合)与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S.问:点S是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程；若不是,请说明理由.

22．（本小题满分13分）

已知函数
（其中为常数）.

(Ⅰ)当
时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)当
时，对于任意大于1的实数，恒有
成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
时，设函数
的3个极值点为
，且
.

求证：
.

益阳市2015届高三四月调研考试参考答案

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．B 2．A 3．C 4．A 5．A

6．B 7．B 8．C 9．D 10．C

二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．-3 12．
13．

（二）必做题（14～16题）

14. 9 15．4 16．20,30

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

解：(Ⅰ) 由
得

得
，所以
……4分

，

所以

，所以A＝. ……6分

(Ⅱ) 因为b＝2c.所以cos A＝＝＝，解得c＝，∴b＝2.

……10分

所以S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.

……12分

18.（本小题满分12分）

解：(Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：
；

或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛
，或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，
，

选手甲进入复赛的概率
. ……6分

(Ⅱ)
的可能取值为3,4,5，对应
的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率

……9分

的分布列为：

X

3

4

5



P











……12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).

∵E为AB的中点，∴E点坐标为E(1,1,0),

∵D1F=2FE，∴
,

∴
……3分

设
是平面DFC的法向量，则
,

∴
，

取x=1得平面FDC的一个法向量
……5分

设
是平面ED1C的法向量，则
,

∴
，取y=1得平面D1EC的一个法向量
,

∵

∴平面DFC平面D1EC. ……8分

（Ⅱ）设
是平面ADF的法向量，则
,

∴
，取y=1得平面ADF的一个法向量
, ……10分

设二面角A-DF-C的平面角为，由题中条件可知
，

则cos=-|
|=

,

∴二面角A-DF-C的平面角的余弦值为-
. ……12分

20.（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由条件
，

两式相减得

， ……2分

故
，

两式再相减得

，

构成以
为首项，公差为4的等差数列；

构成以
为首项，公差为4的等差数列；………5分

又
，

所以
；由条件
得
，得
，

从而
，
………8分

（Ⅱ）对任意的
N*，
，

当
时，由
，有
得
………①；

当
时，由
，有
，

即

若为偶数，则
得
………②；

若为奇数，则
得
………③.

由①、②、③得：
. ……13分

21.（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)设点
，得
。

代入
，化简得
。所以曲线C的方程为
……4分

(Ⅱ)（1）当直线的斜率存在时，设直线方程为
，将直线方程代入曲线
中，化简得
。设点
，利用根与系数的关系得
。……6分

在曲线C的方程中令y=0得
，不妨设
，则
，则直线
。

同理直线
。 ……8分

由直线方程
，消去，

得

所以点S是在直线
上。 ……12分

（2）当直线的斜率不存在时，则直线方程为
。可得点的横坐标为
。

综合（1）（2）得，点S是在同一条直线
上。 ……13分

22.（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)
，令
可得
，

易得单调减区间为
，增区间为
.………3分

（Ⅱ）当
时，由
，可得
恒成立，

令
，则
，

，
。

（ⅰ）当
时，
恒成立，所以
在
上是增函数，

所以当
时，