2016届高考考前质量检测（三）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数
为虚数单位）满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.用
给
个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取
件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为
的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.曲线
在点
处的切线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.
为双曲线
的渐近线位于第一象限上的一点，若点
到该双曲线左焦点的距离为
，则点
到其右焦点的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）

6.设
是等比数列
的前
项和，若
，在
（ ）

A．
B．
C．
D．

7.实数
满足
若
的最小值为
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.若
，且
，则
的值为（ ）

9.执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知
为同一平面内的两个向量，且
，若
与
垂直，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.在体积为
的三棱锥
中，
，且平面
平面
，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.函数
的最大值与最小值的乘积为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.某公益活动为期三天,现要为
名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需
人工作，第二天需
人工作，第三天需
人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答）

14.已知集合
，则
___
.（用
填空）

15.已知
分别为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上的一点，且
为坐标原点）为正三角形，若射线
与椭圆分别相交于点
，则
与
的面积的比值为______.

16.已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，数列
满足
，则数列
的前
项的和为______.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

如图，点
是
的边
上一点，且
，
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
的外接圆的半径为
，求
的面积.

18.（本小题满分12分）

某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入
万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从
开始计数的.

（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

（Ⅱ）估计该公司投入
万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x（单位：万元）

1

2

3

4

5



销售收益y（单位：万元）

2

3

2



7



表中的数据显示，
与
之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算
关于
的回归方程.

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.

19.（本小题满分12分）

如图，
为圆
的直径，点
为圆
上的一点，且
，点
为线段
上一点，且
，
垂直圆
所在的平面.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）

为抛物线
的焦点，过点
的直线
与
交于
两点，
的准线与
轴的交点为
，动点
满足
.

（Ⅰ）求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）当四边形
的面积最小时，求直线
的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，证明：
；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求正实数
的值.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的切线，
是⊙
的割线，
，连接
，分别于⊙
交于点
，点
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆
的方程为
.以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线
的极坐标方程
.

（Ⅰ）当
时，判断直线
与
的关系；

（Ⅱ）当
上有且只有一点到直线
的距离等于
时，求
上到直线
距离为
的点的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）若对任意实数
，
成立，求实数
的值.

2016年高考考前质量检测考试（三）

理科数学参考答案及评分标准

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.

2． 对解答题，当考生的解