2016届高三年级第三次四校联考

数学（理）试题

命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1.已知集合
，
，则
为

A.
　B.
C.
　 D.

2．复数
，则

A.
B.
C.
D.

3.中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有

A.
种 B.
种

C.
种 D.
种

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为

A．4 B．8

C．10 D．12

5.等比数列
中，
，则数列
的前10项和等于

A. 2 B.
C. 5 D. 10

6.若非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为

A.
B .
C.
D.

7．定义
矩阵
，若
，则

A. 图象关于
中心对称 B. 图象关于直线
对称

C.在区间
上单调递增 D. 周期为
的奇函数

8. 设函数
的图像在点
处切线的斜率为
，则函数
的图像为

A B C D

9.不等式组
表示的点集记为M，不等式组
表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为

A.
B.
C.
D.

10．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

11. 已知双曲线
的左、右两个焦点分别为
为其左、右顶点，以线段
为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为
，且
,则双曲线的离心率为

A.
　 B .
　C.
D.

12.已知函数
,若对任意
，
，则

A.
B .
C.
D.

二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2), P(X<4)＝0.84, 则P(X≤0)的值为 ．

14.若
的展开式中
项的系数为20，则
的最小值为________．

15. 已知在
中，
的平分线
把三角形分成面积比为4:3的两部分，则
.

16.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是 ．

三、解答题: （本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。）

17. （本小题满分12分）

在等差数列
中，
，数列
的前n项和
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式;

（Ⅱ）求数列
的前n项和
．

18.（本小题满分12分）

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分
的分布列及数学期望
．

19.（本小题满分12分）

如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,B1在底面上的射影D在棱长BC上,且A1B∥平面ADC1。

（Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值．

20. （本小题满分12分）

已知F（
，0）为抛物线
（p＞0）的焦点，点N（
，
）（
＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线
与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=
，
。

（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；

（Ⅱ）判断直线
中，是否存在使得
面积最小的直线
，若存在，求出直线
的方程和
面积的最小值；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若不等式
≤
在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数
的取值范围 .

选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：BD平分∠CBE;

（Ⅱ）求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆C的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆C上任意一点
，求

面积的最大值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
时，恒有
，求实数
的取值范围．

2016届高三年级第三次四校联考

数学（理）试题答案

命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学

1-5 BCDBC 6-10 DCBDA 11-12 BA

13.0.16

14.2

15.

16．

17. 解：（1）设等差数列
的首项为
，公差为d，则

…………（3分）

数列
的前n项和

当n=1时，
，

当n
2时，
，对
=4不成立，

所以，数列
的通项公式为

…………（6分）

（2）n=1时，
，

n
2时，
，

所以

n=1仍然适合上式， …………（10分）

综上，
………… （12分）

18. 解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件
；“该射手设计甲靶命中”为事件
；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件
；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件
．---------2分

由题意知，
，
，

由于
，根据事件的独立性与互斥性得

---------4分

（Ⅱ）根据题意，
的所以可能取值为
．

根据事件的独立性和互斥性得

，

，

，

---------9分

故
的分布列为

0

1

2

3

4

5



















 所以
．---------12分

19. （1）连接A1C交AC1于点O,连接OD,则平面A1BC∩平面ADC1=OD。（2分）

∵A1B∥平面ADC1,∴A1B∥OD,又为O为A1C的中点。

∴D为BC的中点,则AD⊥BC。

又B1D⊥平面ABC,∴AD⊥B1D，BC∩B1D=D。

∴AD⊥平面BCC1B1。

又AD
平面ADC1,从而平面ADC1⊥平面BCC1B1。（6分）

以D为坐标原点,DC,DA,DB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D（0,0,0）,B（-1,0,0）,A（0,
,0），B1（0,0,
），C1（2,0,
）（7分）

易知
=（1,
,0）,
（1,0,
）,设平面A1AB的一个法向量为
=（x,y,z）。

则
,即
,取x=-
,则
=（-
,1,1）。（9分）

易知
=（0,
,0），
=（2,0,
），同理可得平面ADC1的一个法向量为
=（-
,0,2）。

∴cos<
,
>=
=
=
。

那么平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值为
。（12分）

20. （1）由题意
，则
，

故抛物线方程为
。

由|NF|=
，则
。

∵
，

∴
，

所以N（2,2）。 （4分）

由题意知直线的斜率不为0，则可设直线
的方程为
。

联立方程组
，得
。

设两个交点A（
，
），B（
，
）（
≠±2，
≠±2），则

（6分）

由
，整理得

。 （8分）

此时，
恒成立。

故直线
的方程可化为
，从而直线
过定点E（3，-2）。

（9分）

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴，

所以△MAB的面积
当t=-2时有最小值为
，此时直线
的方程为
。 （12分）

解法二：（2）当l的斜率不存在时，
（舍） 或
，此时△MAB的面积

当斜率存在时，设
---------------------------6分

，

得
或
舍-----------9分

点M到直线的距离
，

----------------------------------11分

综上，所以△MAB的面积最小值为
，此时
直线
的方程为

--------------------12分

21. (1)
,定义域为（0，+∞），

……………………2分

①当
即
时，令
，

令
，得
故
在
上单调递减，在
上单调递增 ……………………3分

②当
即
时，
恒成立，
在（0，+∞）上单调递增。

……………………4分

综上，当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。

当
时，
的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。