2016届山西省太原市第五中学高三下学期第二次阶段性（二模）考试理科数学试卷

(2016.5)

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
在复平面内对应的点关于
轴对称，且
，则复数
在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 已知函数
，若
，则
（ ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

4．以下四个命题中，真命题的是（ ）

A．
，

B．“对任意的
，
”的否定是“存在
，

C．
，函数
都不是偶函数

D．
中，“
”是“
”的充要条件

5.自圆
：
外一点
引该圆的一条切线，切点为
，切线的长度等于点
到原点
的长，则
的最小值为（　　　）

A．
　　　 　B．3　　　　 C．4　　　 　D．

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　　）

A．
　　　　B．
　　　　C．
　　　　D．

7.执行如图所示的程序，若输入的
，则输出的所有
的值的和为（　　　）

A．243　　　 　B．363　　　 　C．729　　　 　D．1092

8.
分别是
的中线，若
，且
与
的夹角为
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ）

A．18 B．108 C．216 D．432

10．四棱锥
的底面
为正方形，
底面
，
，若该四棱锥的所有顶点都在体积为
同一球面上，则
（　　　）

A．3　　　 　B．
　　　 　C．
　　　 　D．

11.已知过双曲线
的右焦点
的直线交双曲线于
两点，连结
，若
，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，关于
的方程
（
）有3个相异的实数根，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

13.若
的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线
与曲线
所围成的封闭区域面积为 .

14.设变量
满足约束条件
，则
的最小值是
，则实数
______．

15.已知数列
的首项
，其前
项和为
，且满足
，若对
，
恒成立，则
的取值范围是_______．

16. 已知函数
，其中
，
为自然对数的底数．当
时，直线
在函数
的图象的下方，则实数
的取值范围____

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P在平面ABC内，且为△ABC外一点,∠BPC=90°.

(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=30°,求tan∠PBA.

18.（本小题满分12分)

如图甲,设正方形
的边长为
,点
分别在
上,并且满足
,如图乙,将直角梯形
沿
折到
的位置,使点
在平面
上的射影
恰好在
上.
点为
的中点.

(1)证明:

平面
;

(2)求二面角
的余弦值.

19.(本小题满分12分)

某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类可得：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．

（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为
，求
的分布列和期望
．

附：

0.010

0.005

0.001





6.635

7.879

10.828





20.(本小题满分12分)

已知椭圆
：
（
）经过点
，且离心率为
，
，
是椭圆的左右焦点.

（1）求椭圆的方程
；

（2）若点
，
是椭圆上关于
轴对称的两点（
，
不是长轴的端点），
点是椭圆
上异于
，
的一点，且直线
，
分别交
轴于
，
，探究：直线
与直线
的交点是否在某定圆上，并说明理由.

(本小题满分12分)

已知函数
．

（1）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（2）令
，是否存在实数
，当
（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

（3）当
时，证明：
．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点
，
为
上一点，且
．

（1）求证：
；

（2）若
，求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
．

（1）设
为参数，若
，求直线
的参数方程；

（2）已知直线
与曲线
交于
，设
，且
，求实数
的值．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

24. 选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（2）若不等式
，对任意的实数
恒成立，求实数
的最小值．

选择：CDBDD DDCDB BD

填空：13.

14.

15.

16.

解答题：

17.

18.（1）证明略（2）

19. （1）由题意得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



外语优秀

60

100

160



外语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为
，

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．

（2）分布列

X

0

1

2

3



P













20.(1)

(2)

21. （1）
在
上恒成立，

令
，有
得
，得
． ………………3分

选做：

22. （Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
又∵
,∴
, ∴
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，又
，∴
∽
，

∴
，∴
，又∵
，∴
．

∵
,
，∴
，∵
，∴
，解得
.

∴
．∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
．

22.

23.

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