山西省古县、高县、离石区2016届高三下学期

第一次八校联考

数学试题（文理通用）

（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）

选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．设集合
，
，则A
B（ ）。

A．[1，2]
B．[0，2] C．（1，2] D．[-1.0）

2． 已知数列{an}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为(　　)．

A．1? B．2? C．3? D．4

3．函数
的最小正周期为（ ）。

A．
B．
C．
D．2

4． 山西离石区某学校
位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织
位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给
位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（?? ?）。

A．
?　　 　　???????? B．
????　　　　???? C．
???????????　　?? D．

5．已知函数
定义在区间
上的偶函数（
），且

，则
（ ）。

A．1 B．2 C．9 D．10

6．如图为某几何体的三视图，求该几何体的体积（ ）。

A．36 B．24 C．12 D．9

7．若不等式组
表示的区域Ω，不等式
表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（ ）

A．114 B．10 C．150 D．50

8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为-4时，则条件框内应填写（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知直线：
与曲线
恒有公共点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．直三棱柱
中，底面是正三角形，三棱柱的高为
，若
是△
中心，且三棱柱的体积为
，则
与平面
所成的角大小是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，
，
在[1，4]上的最大值为
，当
时，
恒成立，则
的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．

7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198



 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181



14．已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为 ．

15．已知数列
,
满足
，
=1，
，
，则
．

16．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为E，延长FE交抛物线
于点P，O为坐标原点，若
，则双曲线的离心率为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17．（本题12分）已知数列{an}，设Sn是数列{an}的前n项和，并且满足a1＝1，对任意正整数n，有Sn＋1＝4an＋2.

(1)令bn＝an＋1－2an(n＝1,2,3，…)，证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；

(2)求cn＝
，求数列
的前n项和Tn．

18．（本题12分）古县某学校数学课题小组对2016羊年央视春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如下表所示：

手机系统

一

二

三

四

五



安卓系统（元）

2

5

3

20

9



IOS系统（元）

4

3

18

9

7



 （1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？

（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以
表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量
的分布列及数学期望
．

下面的临界值表供参考：

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001





2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828



独立性检验统计量
其中

19．（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，∠DAB=60°，
是
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．

20．（本题12分）在平面直角坐标系
中，
，
两点的坐标分别为
，
，动点
满足:直线
与直线
的斜率之积为
．

（1）求动点
的轨迹方程；

（2）过点
作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于
，
两点，求△
面积的最小值．

21．（本题12分）已知函数
，
。

（1）若函数
，求
在区间
上的最大值；

（2）令
，是否存在实数
，当
（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本题10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△
的外接圆的切线
与
的延长线相交于点E，
的平分线与
相交于点
，

（1）求证：
；

（2）求
的值．

23．（本题10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，设倾斜角为
的直线：
（t为参数）与曲线
（
为参数）相交于不同的两点
，
．

（1）若
，求线段
的长度；

（2）若直线的斜率为
，且有已知点
，求
．

24．（本题10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求
的值；

（2），
，求实数
的取值范围．

山西八校联考数学参考答案

1．C 2．D 3．B 4．C 5．D． 6．C7．A8．D9．A10．C 11．B12．B

13．01 14．1或-3 15．
16．

17． (1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝(4an＋2)－(4an－1＋2)

＝4(an－an－1) (n∈N＋，n≥2)．

由题意知bn＝an＋1－2an，

∴bn＋1＝an＋2－2an＋1.

∴bn＋1＝4(an＋1－an)－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)，

∴{bn}是等比数列，公比q＝2.

又∵S2＝4a1＋2，∴a1＋a2＝4a1＋2，

∴1＋a2＝4＋2，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3，

∴bn＝b1·qn－1＝3·2n－1

(2)∵cn＝
＝2n－1，

∴Tn＝
＋
＋
＋…＋

18．（1）有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；

（2）
的分布列为

0

1

2















【解析】（1）根据题意列出
列联表如下：

咻得多少

手机系统

咻得多

咻得少



安卓

2

3



IOS

3

2




，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．

（2）随机变量
的所有可能取值为