2016年山西省八所重点中学高三

第二次适应性考试

数学（文科）试卷2016.5.15

第I卷(选择题 60分）

一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的)。

1.已知集合
，则
（ B ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知

，
，则“
”是“
”的(?A?）条件

A．充分不必要???B．必要不充分?????C．充要??????D．?非充分非必要

3. 设数列
的前
项和为
，若
，则
（ B ）

A.?
????? ?B.?
? ?????? C.
????D.

4.在△ABC中，∠C=90°，
,
,则
的值是（ A ）

A.5 B.－5 C.
D.

5.古县某中学高三年级组共有500名学生，学校要挑25%的高三男生和三分之一的女生参加县“话青春2016”歌唱比赛，然后在挑选出来的男女学生中按照5:4的比例进行分组，发现若要分成16个组的话表要再挑选4名女生参赛。那么该中学高三男女比例是（ C ）

A.5:4 B.4:5 C.4:3 D.3:4

6. 若点（
,16）在函数
的图象上，则tan
的值为（ C ）

A.
B.
C.
D.

7. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ D ）

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

8.已知
为锐角三角形，命题
：不等式
恒成立，命题
：不等式
恒成立.则复合命题
中 ，真命题的个数为（ B ）

A.0 B.1 C.2 D.3

9. 直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2
，则k的取值范围是（　A　）

A．[﹣

，0]? B．[﹣∞，﹣

]∪[0，+∞]??? C．[﹣

，

]?D．[﹣

，0]

10.设f(x)＝asin2x＋bcos2x，且满足
且
，则下列说法正确的是（ D ）

A.
B.f(x)是奇函数

C.f(x)的单调递增区间是
(k∈Z) D.

11.已知点
为抛物线
上的动点（不含原点），过点
的切线交
轴于点
，设抛物线
的焦点为
，则
为（ B ）

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不确定

12. 设曲线
上任一点
处切线斜率为
，则函数
的部分图象可以为（ C ）

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若G是△ABC的重心，
分别是角A，B，C的对边，

且
＝0，则角A＝???????????30°?????.

14.在右图的算法中，如果输入
，
，则输出的结

果是 14 .

15.已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为____12____．

16.三棱锥
中，侧棱
平面
，底面
是边长为

的正三角形，
，则该三棱锥的外接球体积等于
.

三、解答题（本大题分必做题和选做题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（一）必做题

17.（本小题满分12分）

在公比为
的等比数列
中，
与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分图像

如图所示，
，
为图象上的两点，设
，

其中
为坐标原点，
，求
的值.

（Ⅰ） 解：由题可知
，又
---------2分

故
∴
----------4分

（Ⅱ）∵点
在函数
的图象上，

∴
，又∵
，∴
-------------6分

如图，连接
，在
中，由余弦定理得

又∵

∴
-------------9分

∴
-------12分

18．（本小题满分12分）

?高三（15）班“山西2016八校联合考试”数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如下:?

试根据图表中的信息解答下列问题:

(1)求高三（15）班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数;

(2)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80),[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析,再从中任选2人进行交流,求交流的2名学生中,恰有一名成绩位于[70,80)分数段的概率.

18(1)由茎叶图和直方图可知,分数在[50,60)上的频数为4人,频率为0.008×10=0.08,∴参赛人数为
=50人2分?故分数在[70,80)之间的频数等于50-(4+14+8+4)=20人4分

(2)按分层抽样原理,三个分数段抽样数之比等于相应频率之比,又[70,80),[80,90)和[90,100]分数段频率之比等于5∶2∶1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80)的有5人,记为A,B,C,D,E,分数在[80,90)的有2人,记为F,G,分数在[90,100]的有1人.记为H.6分?则从中抽取2人的所有可能情况为(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(A,G)(A,H)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(B,G)(B,H)(C,D)(C,E)(C,F)(C,G)(C,H)(D,E)(D,F)(D,G)(D,H)(E,F)(E,G)(E,H)(F,G)(F,H)(G,H),共28个基本事件8分?设事件A:交流的2名学生中,恰有一名成绩位于[70,80)分数段9分则事件A包含(A,F)(A,G)(A,H)?(B,F)(B,G)(B,H)?(C,F)(C,G)(C,H)?(D,F)(D,G)(D,H)?(E,F)(E,G)(E,H)15个基本事件11分?所以P(A)=
12分

19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．

（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；

（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．

19.

20.（本小题满分12分）

椭圆
，椭圆
的

一个焦点坐标为
，斜率为的直线
与椭圆
相交

于
两点，线段
的中点
的坐标为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
上一点，点
在椭圆
上，且
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

20.解:（Ⅰ）设
，则

∴
，---------2分

又
的斜率为1，
的坐标为
，

∴
，即
，

又
，∴
，---------4分

∴
．---------5分

（Ⅱ）设
，则

∵
，∴
---------7分

又
∴
，

即
，---------9分

又
，∴
，即
，

∴
．-------12分

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）若函数