2016年太原市高三年级模拟试题（一）

数学理

一、选择题

1.已知全集
，集合
,集合
,则
为

A、
　　　　　　B、
　　　　　C、
　　　　　D、

答案：B

解：

说明：

2.已知
是虚数单位，则复数
的共轭复数是

　A、1－
　　　　B、－1＋
　　C、1＋
　　　D、－1－

答案：C

解：

∴复数
的共轭复数是

说明：⑴形如Z=a + bi（其中
）称为复数，a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
为z的共轭复数.

⑵两个复数相等的定义：

.

⑶复数集是无序集，不能建立大小顺序。两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

①若
为复数，则
若
，则
.（×）若
，则
.（√）

②特别地：

⑷

3.已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为

A、
　　　　B、
　　C、
　　　　D、

答案：C

解：∵双曲线
的一个焦点坐标为（2，0）

∴
，焦点在x轴上∵渐近线方程是
∴

令
则
∴
∴

∴
∴双曲线方程为

4.等比数列
中，
，公比q=2，前n项和为
，下列结论正确的是

A.
B.

C.
D.

答案：C

解：

A.
，
∴A错

B.
，构造函数
，易知
在R上单调递增

当x=2时，
∴R上不能保证
恒成立∴B错

C.
恒成立即
恒成立，显然C正确

5.执行如图所示的程序框图，若输出的
，则判断框内填入的条件可以是

A、
7

B、
7

C、
8

D、
8

答案：D

解：k=0,s=0,设满足的条件为P.

圈数

条件P

k

s



1

满足

2

1/2



2

满足

4

3/4



3

满足

6

11/12



4

满足

8

25/24



可以得出：k=2，4，6时满足条件，8时不满足条件,∴k<8

6.设函数
，若实数a，b满足
，则

A.
B.

C.
D.

答案：B

解：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，

由于f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0

又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1

所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0

7.设函数
的部分图像，若
，且
，则

A．1 　B．

C．
　D．

答案：D

解：由图象可得A=1，

，解得ω=2，

∴f（x）=sin（2x+φ），点（
，0）相当于y=sinx中的

故选：D

8.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数

A．135 B．172 C．189 D．162

答案：C

解：由题意，不考虑特殊情况，共有
种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种红色卡片，共有

种取法，

故所求的取法共有
﹣4﹣

=189种．

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A、2　　　　B、
　　　C、4　　　D、

答案：B

解：先考虑将主视图补成正方形，则三视图中两个正方形一个等腰三角形构成的几何体如下图中的三棱柱ABC-EDF,，再考虑视图内部的线，可以知道该几何体是三棱柱ABC-EDF截去三棱锥E-ADF余下的部分。

所以V=

10.已知变量x，y满足约束条件
，若
，则实数a的取值范围是

　A、（0,1］　　　　B、［0,1）　　　C、［0,1］　　　D、（0,1）

答案：C

解：
表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K,

由图易观察到BC与y轴重合时，
,当BC向右移动时，

,综上，

11. 在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2
，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为

　A、3
　　　　B、4
　　　　　C、5
　　　　　D、6

答案：D

解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，

而且底面BCD是正三角形，

∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，

令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，

∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，

∴DE=
，∴PE=
，DP=

∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2
，即

∴AP=
，

∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，

∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为
，

∴正方体的对角线长为
，∴外接球的半径为

∴外接球的表面积=4πr2=6π

12.若函数
有唯一零点x0，且m

A.1 B.3 C.5 D.7

答案：C

解：令
，

在
上
为减函数，在
上
为增函数，所以
为凹函数，而
为凸函数

∵函数
有唯一零点x0，∴
有公切点
则

构造函数

欲比较5与
大小，可比较
与
大小，

∵
∴

∴

∴m=2，n=3 ∴m+n=5

说明：

二、填空题

13.若（a+x）(1+x)4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式

中x3的系数为　　　　　

答案：18

解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=-1，则a0-a1+a2-…-a5=f（-1）=0．②①-②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则 (1+x)4取x，x，x，1即x3的系数为

当（3+x）中取x，则 (1+x)4取x，x，1，1即x3的系数为

∴展开式中x3的系数为18

14.圆心在曲线
上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为　　　

答案：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．

解：由圆心在曲线
上，设圆心坐标为（a，
）a＞0，

又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，

由a＞0得到：d=
，当且仅当2a=
即a=1时取等号，

所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为
，

则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．

15.在锐角?ABC中已知B=
，
=2,则
的取值范围是　　　　

答案：（0,12）

解：

解法1以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，

因为
设A（x，0）

因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，

即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，

则
=x2﹣x=（x﹣
）2﹣
，所以
的范围为（0，12）．

解法2∵∠B=
， △ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°

=a=2

由正弦定理可得
∴
,

∴

∵
∴

16. 已知数列{an}满足：
(
)，记Sn为{an}的前n项和，则S40=　　．

答案：440

解：当n=2k时，即
①

当n=2k-1时，即
②当n=2k+1时，即
③

①+②
③-①

S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）

三、解答题

17.已知a,b,c分别为锐角?ABC内角A,B,C的对边，且
a=2csinA

⑴求角C

⑵若c=
，且?ABC的面积为
，求a+b的值.

解：（1）∵

=2csinA ∴正弦定理得
，

∵A锐角，∴sinA＞0，

（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，

又由△ABC的面积得
．即ab=6，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，由于a+b为正，所以a+b=5．

18.在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手（1至6号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．

（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；

（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．

解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，

媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：

P（A
）=P（A）（1﹣P（B））

（Ⅱ）P（C）=
，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB//CD,

AB=2AD=2CD=2,E是PB上的一点.

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=
，

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，
分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），

则E（
，﹣
，
），

20.已知椭圆C的离心率为
，点A,B,F分别为椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，且
.

(1)求椭圆C的方程

（2）已知直线
被圆O：
所截得的弦长为
，若直线
与椭圆C交于M、N两点，求?OMN面积的最大值.

解：（1）设方程为C：
，则A（a，0），B（0，b），F（c，0）

∵椭圆C的离心率为

∴联立①②，解得b=1，c=
∴a=2，

∴椭圆的方程为
＝1；

（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，

∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为2
，

由垂径定理可得O到MN距离d为1 ∴
=1 ∴m2=1+k2③

直线l代入椭圆方程，可得（
）x2+2kmx+m2﹣1=0

∴t=3，即4k2+1=3，解得
时，S取得最大值为1．

21.已知函数
=ln（x+1）-x

(1)若k
z，且f(x-1)+x>k(1-
)对任意x>1恒成立，求k的最大值.

⑵对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e
＜1﹣
x02成立.

解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣
），

∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣
），∴lnx+1＞k（1﹣
），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，

令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，

若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；

∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣
；故﹣
≤k≤2，故k的最大值为2；

若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞ek﹣2，故g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增；

∴gmin（x）=g（ek﹣2）=3k﹣ek﹣2，

令h（k）=3k﹣ek﹣2，h′（k）=3﹣ek﹣2，

∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；

∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，

综上所述，k的最大值为4．

（2）假设存在这样的x0满足题意，

故x=﹣lna，取x0=﹣lna，

在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；

∴hmin（x）=h（x0）=
（﹣lna）2+alna+a﹣1，

在a∈（0，1）时，令p（a）=
（lna）2+alna+a﹣1，

则p′（a）=
（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p