太原五中2015—2016学年度第二学期阶段性检测

高 三 数 学(文)

命题、校对：郭贞 时间：2016.4.6

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U＝R，A＝{x∈N|2x(x－4)<1}，B＝{x∈N|y＝ln (2－x)}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

2. 若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.给出命题
若平面
与平面
不重合，且平面
内有不共线的三点到平面
的距离相等，则
;命题
向量
的夹角为钝角的充要条件为
. 关于以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）

A. 命题“
”为假 B. 命题“
”为真

C. 命题“
”为假 D. 命题“
”为真

4. 已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

5. 已知函数
在一个周期内的图象如图所示，其中
分别是这段图象的最高点和最低点，
是图象与
轴的交点，且
，则
的值为（　）

A．
B．
C．1 D．2

6.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是(　　)

A．6 B．10 C．91 D．92

7．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(　　)

A．24π B．6π C．4π D．2π

8.已知函数
，且
，则
（）

A．
　　 B．
　 C．
　 D．

9.函数
是定义域为
的奇函数，且
时，
，则函数
的零点个数是（ ）

A．1 B． 2 C．3 D．4

设
分别为双曲线

的左右顶点，若双曲线上存在点
使得两直线斜率
，则双曲线
的离心率的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

11．已知
外接圆
的半径为1，且
，从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，则
的形状为（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

12.设函数
的导函数为
，对任意
都有
成立，则（ ）

A．
B.

C．
D.
的大小不确定

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题。考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝

14.在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．

15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为________．

16. 定义在
上的函数，对任意实数，都有
和
,且
记
则
错误！未找到引用源。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）

在等差数列
和等比数列
中，
，且
成等差数列，
成等比数列.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，若
对所有正整数
恒成立，求常数
的取值范围.

（本小题满分12分）

某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．

（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
，停车付费多于14元的概率为
，求甲停车付费恰为6元的概率；

（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．

（本小题满分12分）

如图，正
的边长为
，
是
边上的高，
分别是
和
边的中点，现将
沿
翻折成直二面角
．（1）试判断直线
与平面
的位置关系，并说明理由；（2）求棱锥
的体积；（3）在线段
上是否存在一点
，使
？如果存在，求出
的值；

如果不存在，请说明理由.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若过点
(2，0)的直线与椭圆
相交于两点
，设
为椭圆上一点，且满
(O为坐标原点），当
＜
时，求实数
取值范围．

（本小题满分12分）

已知函数
(
R)，曲线
在点
处的切线方程为
.

(1)求实数
的值，并求
的单调区间；

(2)试比较
与
的大小，并说明理由；

(3)是否存在
，使得
对任意
恒成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

如图所示，已知
与⊙
相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点
，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．（本题10分）选修4-4：极坐标与参数方程

已知曲线
的直角坐标方程为
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
是曲线
上一点，
，将点
绕点
逆时针旋转角
后得到点
,
,点
的轨迹是曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程.

（Ⅱ）求
的取值范围.

24.（本题10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于
的不等式
的解集不是空集，记
的最小值为
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）已知
，求证：
．

注：
表示数集
中的最大数．

太原五中2015-2016一模文科数学答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

 A

A

 C

A

B

B

B

C

B

B

C





填空题

13. 2 14. 8＋4

15.  16. 2017

解答题

17.

18.解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，

则
．

所以甲临时停车付费恰为6元的概率是
．

（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．

其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．

故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为
．

19.解：（1）AB∥平面DEF，理由如下：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB?平面DEF，EF?平面DEF．∴AB∥平面DEF．

（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD，EM=1，

?

（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC/3， 过P作PQ⊥CD于Q，∵AD⊥平面BCD ∴PQ⊥平面ACD∴DQ=DC/3=2√3/3， ∴tan∠DAQ=DQ/AD═（2√3/3）/2=√3/3，

∴∠DAQ=30° 在等边△ADE中，∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE．AQ∩AP=A∴DE⊥平面APQ， ∴AP⊥DE．

此时BP=BC/3， ∴BP/BC=1/3．

20.解：（1）由题意知
， 所以
．即
．．． 2分

又因为
，所以
，
．故椭圆
的方程为
．．．．．4分

（2）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
.

，
.．．．．．．．．．．6分

∵
，∴
，
，

.

∵点
在椭圆上，∴
，∴
．．．．．．．．．．8分

∵
＜
，∴
，∴

∴
，

∴
，∴
.．．．．．．10分

∴
，∵
，∴
，

∴
或
，

∴实数
取值范围为
.．．．．．12分

21.(1)依题意，
，

所以
，又由切线方程可得
，即
，解得
，

此时
，

令
，所以
，解得
；令
，所以
，解得
，

所以
的增区间为：
，减区间为：
.

(2)解法一：

由(1)知，函数
在
上单调递减，所以
，即

解法二：

，因为

所以
，所以
.

(3)若
对任意
恒成立，则
，记
，只需
.

又

记
，则
，所以
在
上单调递减.

又
，
，

所以存在唯一
，使得
，即

当
时，
的变化情况如下：











＋

0

－





＋

0

－





↗

极大值

↘





所以
，又因为
，所以
，

所以
，

因为
，所以
，所以
，

又
，所以
，

因为
，即
，且
，故
的最小整数值为
.

所以存在最小整数
，使得
对任意
恒成立.

22.
（Ⅱ）∵
,
∴
，∵
∴