2016届山西省太原市第五中学高三下学期第二次阶段性（二模）考试文科数学试卷

时间：2016.5.9

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
则A
等于（　　）

A．{1,2,5} B．{l, 2，4, 5} C．{1，4, 5} D．{1，2，4}

2.如果复数
的模为4，则实数
的值为( )

A．2 B．
C．
D．

3．已知
，如果
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.

4、下列函数中既是增函数又是奇函数的是（ ）

A.
； B.
；

C.
； D.
；

5．在等差数列
中，
=
,则数列
的前11项和
=（ ）．

A．24 B．48 C．66 D．132

6.设
为两条不同的直线，
为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ）。

A．若
与
所成的角相等，则
　 B．若
，
，则

C．若
，
，则
　　 D．若
，
，则

7.
=（ ）

A.
B.
C. 2 D.

8.如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入(　　)

P＝ B．P＝

C．P＝ D．P＝

9.若
，且
，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

已知
是定义在
上且以3为周期的奇函数，当
时，
，则函数
在区间
上的零点个数是 （ ）

A．3 B．5 C．7 D．9

11.如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，设
，
，给出以下四个命题：

①平面

平面
；

②当且仅当x=
时，四边形MENF的面积最小；

③四边形
周长
，
是单调函数；

④四棱锥
的体积
为常函数；

以上命题中假命题的序号为（　　）

①④ B．②

C．③ D．③④

12．设函数
(
,
为自然对数的底数).若存在
使
成立,则
的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题。考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为6，则
的最小值为　　．

14.若平面向量
满足
，则
的最小值是________．

15.已知双曲线
，过其右焦点
作圆
的两条切线，切点记作
，双曲线的右顶点为
，
，则双曲线的离心率为 .

16.已知
分别为
的三个内角
的对边，
=2，且
，则
面积的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

已知函数
的图像是由函数
的图像经如下变换得到：先将
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移
个单位长度.

(Ⅰ)求函数
的解析式，并求其图像的对称轴方程；

(Ⅱ)已知关于
的方程
在
内有两个不同的解

（1)求实数
的取值范围；

（2)证明：

（本小题满分12分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若

干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；

（2）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为
，甲的方差为
。现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由；

（3）若将预赛成绩中的频率视为概率，记“甲在考试中的成绩不低于80分”为事件
，其中概率为
；记“乙在考试中的成绩不低于80分”为事件
，其概率为
。则
成立吗？请说明理由。

（参考公式：
）

9. (本小题满分12分)

如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．
∥
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（3）线段
上是否存在点
，使
// 平面
？若存在，求出
；若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）

已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，且椭圆经过点
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.

21.(本小题满分12分)

已知函数
，且曲线
在点
处的切线与直线
平行.

(1)求
的值；

(2)判断函数
的单调性；

(3)记
，试证明：当
时，
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，四边形
外接于圆，
是圆周角
的角平分线，过点
的切线与
延长线交于点
，
交
于点
．

（1）求证：
；

（2）若
是圆的直径，
，
，求
长

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知圆
的圆心
,半径
.

(Ⅰ)求圆
的极坐标方程;

(Ⅱ)若
,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
交圆
于
两点,求弦长
的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
=

（Ⅰ）证明：

2；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

太原五中校二模数学（文）答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

D

D

C

C

D

B

D

C

A





填空题

14.

16.

解答题

【答案】(Ⅰ)
，
；

(Ⅱ)（1）
；

答案：（1）茎叶图（略）乙组数据的中位数为84，

，选派甲学生参加较合适。

，事件
不是互斥事件。

19.【答案】解：（1）证明：取
中点
，连结
，
．

因为
，所以
．

因为四边形
为直角梯形，
，
，

所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
． 所以
． ………………4分

（2）解法1：因为平面
平面
，且

所以BC⊥平面

则
即为直线
与平面
所成的角

设BC=a，则AB=2a，
，所以

则直角三角形CBE中，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………8分

解法2：因为平面
平面
，且
，

所以
平面
，所以
．

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
．

因为三角形
为等腰直角三角形，所以
，设
，

则
．

所以
，平面
的一个法向量为
．

设直线
与平面
所成的角为
，

所以
，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………8分

（3）解：存在点
，且
时，有
// 平面
．

证明如下：由
，
，所以
．

设平面
的法向量为

，则有

所以
取
，得
．

因为


，且
平面
，所以
// 平面
．

即点
满足
时，有
// 平面
． ………………12分

20.（1）
，又

…………4分

（2）显然直线
不与
轴重合

当直线
与
轴垂直时，|
|=3，
，
；………………5分

当直线
不与
轴垂直时，设直线
：
代入椭圆C的标准方程，

整理，得

………………7分

令

所以

由上，得

所以当直线
与
轴垂直时
最大，且最大面积为3 ……………10分

设
内切圆半径
，则

即
，此时直线
与
轴垂直，
内切圆面积最大

所以，
………………12分

21.解析：(1)

令
1,得
，解得
.（2分）

（2）由(1)知，

，
.

再令
则

当
时,
,
递增;

当
时，
,
递减;

∴
在
处取得唯一的极小值，即为最小值

即
∴
, ∴
在
上是增函数. (6分)

22.

23.【答案】解:(Ⅰ)【法一】∵
的直角坐标为
,

∴圆
的直角坐标方程为
.

化为极坐标方程是
.

【法二】设圆
上任意一点
,则

如图可得,
.

化简得

(Ⅱ)将
代入圆
的直角坐标方程
,

得

即

有
.

故
,

∵
,

∴
,

24.

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/