山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学

2016届高三下学期第四次联考

数学（文）试题

满分150分，考试时间为120分钟

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1. 设全集
，集合
，
，则
=

A．
　　　 B．
C．
D．

2. 椭圆
的两个焦点为
，点P是椭圆上任意一点（非左右顶点），则
的周长为

A．6 B．8 C．10 D．12

3. 在复平面内与复数
所对应的点关于实轴对称的点为
，则
对应的复数为

A．
　　　 B．
　　 　 C．
　　　 D．

4. 已知
，则
=

A．
B．
C．
D．

5. 函数
的图象大致是

A． B． C． D

6. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于

A．
B．
C．
D．

7. 已知
，且
，函数
的图像的相邻两条

对称轴之间的距离等于
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

8. 某几何体的三视图如图，该几何体表面积为

，则
值为

A．
B．
C．
D．

9. 已知O是坐标原点，点
坐标为
，点
是平面区域
上的一个动点，则
的最小值为

A．3 B．2 C．
D．

10. 已知菱形
边长为2，
，点P满足
，
．若

，则
的值为

A．
B．
C．
D．

11. 已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，若
上存在点
使
为等腰三角形，且其顶角为
，则
的值是

A．
B．
C．
D．

12. 直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于A，B，则|AB|的最小值为

A．3 B．2 C． D．

二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 在
中，
则
= ▲ ；

14.
是半径为
的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点
，连接
，则弦
的长度超过
的概率是 ▲ ；

15. 三棱锥
中，
,
,
是边长为2的等边三角形，则三棱锥
的外接球球心到平面
的距离是 ▲ ；

16. 函数
，若存在实数
（
）

满足
，则
的取值范围是 ▲ .

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17.（本小题满分12分）

已知等比数列
满足：
，
成等差数列，公比

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

18．（本小题满分12分）

某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：

日 期

4月1日

4月2日

4月3日

4月4日

4月5日



温差
（°C）

10

11

13

12

8



发芽数
（颗）

23

25

30

26

16



（Ⅰ）请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠?

（Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为
，求事件“m ，n均不小于25”的概率.

（参考公式：回归直线的方程是
，其中
，
）

19. （本小题满分12分）

如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，

M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.

（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；

（Ⅱ）若BC=1，AB=4，求三棱锥D—PCM的体积.

20．（本小题满分12分）

已知圆C经过
两点，且在
轴上截得的线段长为
．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线
,且
与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线
的方程.

21．（本小题满分12分）

设函数

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)若对任意
及任意
，恒有
成

立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的两条中线AD和BE相交于点G，且D,C,E,G四点共圆.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)若
，求
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
(其中
为参数)，

以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.

(Ⅰ)求C的普通方程和直线
的倾斜角；

(Ⅱ)设点P(0，2)，
和C交于A,B两点，求
.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

(Ⅰ)若不等式
的解集为
，求实数
的值；

(Ⅱ)在（I）的条件下，若不等式
的解集非空，求实数k的取值范围.

2016届高三年级第四次四校联考

数学（文A卷）答案

一、选择题

DCBAB CBACA BD

二、填空题

13. 1 14.
15.
16.

三、解答题

17.（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）设等比数列
公比为
，

成等差数列，

，---------------2分

即得
，解得
或
， ------------------4分

又


，

，
----------------6分

（Ⅱ）根据题意得
=
，

， ①

， ②

作差得
=
---------------10分

=
---------------------12分

18．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）
，
，
.

，
，
.

由公式，求得
，
．

所以y关于x的线性回归方程为
．--------------------------------5分

当x=10时，
，|22－23|＜2；

当x=8时，
，|17－16|＜2．

所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． -------------------------------7分

（Ⅱ）
的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.[:.]

设“m ，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26).

所以
，故事件A的概率为
.------------------------------------12分

19. （本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）
为正三角形，D为PB的中点

，

又


-------------------------3分

又

平面ABC⊥平面APC -------------------------6分

（Ⅱ）由(1)题意可知，
,
,-------------------------8分

-------------------------10分

-------12分

20．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）线段MN的垂直平分线的方程是y+
=x-
即y=x-1

所以圆心C(a,a-1) -------------------------------3分

又由在y轴上截得的线段长为4

知（a-3）2+（a +2）2=12+a2得：a=1

故圆C的方程为（x-1）2+y2=13 -----------------------6分

（Ⅱ）设直线
的方程为y=-x+m

A（x1,m-x1）,B（x2,m-x2）

∴x1+x2=1+m,x1x2=
----------------------------8分

则由题意可知OA⊥OB，即kOA?kOB=-1

∴
即m2-m?（1+m）+m2-12=0

∴m=4或m=-3 经验证符合
∴y=-x+4或y=-x-3------------------------------12分

21．（本小题满分12分）

解析：（1）函数的定义域为
.当
时，
当
时，

单调递减；当
时，

单调递增