山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学

2016届高三下学期第四次联考

数学（理）试题

【满分150分，考试时间为120分钟】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知全集为R，集合
则

或
B.
或
C.
D.

2.已知
为实数，若复数
为纯虚数，则
的值为

A.
B．
C．
D．

3.下列函数中，既是奇函数,又在
上为增函数的是

A．
B．
C．
D.

4. 下列命题的说法错误的是

A．对于命题
, 则

B．
是
的充分不必要条件

C．若命题
为假命题，则p，q都是假命题

D．命题“若
，则
”的逆否命题为：“若
，则
”

5. 某研究机构对儿童记忆能力
和识图能力
进行统计分析，得到如下数据：

记忆能力











识图能力











由表中数据，求得线性回归方程为，
,若某儿童的记忆能力为
时，则他的识图能力约为

A.9.2 B.9.5 C.9.8 D.10

6.从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有

A.16种 B.18种 C.22种 D.37种

7. 如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是

A.7 B.﹣7 C.21 D.﹣21

8.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

A.96 B.108

C.180 D.198

9. 如上图所示程序框图中，输出S=

A．45 B.﹣55 C.﹣66 D.66

10.已知函数

的图象与
轴交点的横坐标构成一个公

差为
的等差数列，把函数
的图象沿
轴向左平移
个单位，得到函数
的图象．若在区间
上随机取一个数
，则事件“
”发生的概率为

A．
B．
C．
D．

11. 已知抛物线
的焦点F到双曲线C：
渐近线的距离为
，点P是抛物线
上的一动点，P到双曲线C的上焦点
的距离与到直线
的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
,若对
,均有
,则
的最小值为

A.
B．
C.-2 D.0

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 设
满足约束条件
，则
的最大值为__________

14.已知
是边长为1的正三角形
的中心,则
__________

15.已知函数
的图象如图所示，它与
轴在原点相切，且
轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为
,则
的值为_________

16．在
中,
分别为角
所对的边,且
,若
,则
__ 

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且

求数列
的通项公式；

若
，且数列{
}的前
项和为
，求证：
.

组别

PM2.5（微克/立方米）

频数（天）

频率



第一组

(0,15]

4

0.1



第二组

(15,30]

12

0.3



第三组

(30,45]

8

0.2



第四组

(45,60]

8

0.2



第五组

(60,75]

4

0.1



第六组

(75,90)

4

0.1



18.（本小题满分12分）

根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为
，求
的分布列及数学期望
和方差
.

19. （本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
是直角梯形，

，

,平面
⊥平面

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的大小.



20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
.以原点

为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线
相切．

(1)求椭圆
的方程；

(2)如图，若斜率为
的直线
与
轴、椭圆
顺次相交于
(
点在椭圆右顶点的右侧)，且
.求证直线
恒过定点，并求出斜率
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

设函数
（1）求
的单调区间；（2）若
为整数，且当
时，
恒成立，其中
为
的导函数，求
的最大值.

选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的两条中线
和
相交于点
，且
四点共圆.

(1)求证：
；

(2)若
，求
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
(其中
为参数)，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.

(1)求C的普通方程和直线
的倾斜角；

(2)设点
(0，2)，
和
交于
两点，求
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知

（1）若
，求不等式
的解集；

（2）对
有
恒成立，求实数
的取值范围.

2016届高三年级第四次四校联考

数学（理）答案

一．A卷：ADDCB ACCBC DA

B卷：ABDCB ADCBC DA

二．3
-1

17. (1)
当
时有
……………………………1分

所以,当
时有,
………………………………………3分

又
符合上式,所以
…………………………………4分

(2)
………………………………8分

所以
………………………………………………………………11分

所以
……………………………………………………………………………12分

18．（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． ………4分

（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
（微克/立方米）．因为
，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，

故该居民区的环境需要改进． …………………………………………7分

（3）记事件
表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，

则
. 随机变量
的可能取值为0,1,2.且
.

所以
， 所以变量
的分布列为

0

1

2













 10分

（天）,或
（天） ……11分

12分

19. 解：（1）证明：因为
，所以AB⊥BC

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB
平面ABCD，

所以AB⊥平面PBC. …………4分

（2）如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC.因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz.

不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，
. 6分

所以
，设平面PAD的法向量为
.因为
，所以
令
，则
.所以
.

8分

取平面BCP的一个法向量
， 9分

所以
11分

所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为
…………12分

20. (1)由题意知e＝＝，∴e2＝＝＝，即a2＝2b2.又∵b＝＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1. 4分

(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

由Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＞0，得m2＜2k2＋1，

则有x1＋x2＝，x1x2＝. 7分

∵∠NF2F1＝∠MF2A，

且∠MF2A≠90°，kMF2＋kNF2＝0.

又F2(1,0)，则＋＝0，即＋＝0，

化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0.

将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得m＝－2k， 9分

∴直线l的方程为y＝kx－2k，即直线过定点(2,0)． 10分

将m＝－2k代入m2＜2k2＋1，

得4k2＜2k2＋1，即k2＜，又∵k≠0，

∴直线l的斜率k的取值范围是∪. 12分

21. （1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a， 1分若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 2分若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增。 5分（2）由于a=1，

7分

令
，
，

令
，
在
单调递增， 9分

且
在
上存在唯一零点，设此零点为
，则

当
时，
，当
时，

， 11分

由
，又