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简介:
山西省阳泉市2016届高三全国高校招生考试模拟考试数学(文)试题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,集合,则(??) A.?? B.??? C.??? D. 【答案】 C 【解析】考查集合的运算。,,考查交集的定义,画出数轴可以看出。 2.设复数z=﹣1﹣i(i为虚数单位),则|1﹣z|=( ) A. B. C.2 D.1 【考点】复数求模. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】代入复数直接利用求模的运算法则求解即可. 【解答】解:复数z=﹣1﹣i(i为虚数单位),则|1﹣z|=|1﹣(﹣1﹣i)|=|2+i|==. 故选:A. 【点评】本题考查复数的模的求法,基本知识的考查.
3.设{an}是等差数列,若log2a7=3,则a6+a8等于( ) A.6 B.8 C.9 D.16 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】根据a6+a8=2a7,即可得出结论. 【解答】解:由题意,log2a7=3,∴a7=8, ∵{an}是等差数列, ∴a6+a8=2a7=16, 故选:D. 【点评】本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质,比较基础.
4. 已知点在椭圆上,则的最大值为(?????) A.??????? ????B.-1???????? ??C.2?????????? ???D.7 【答案】D 5.已知向量=(m,2),向量=(2,﹣3),若|+|=|﹣|,则实数m的值是( ) A.﹣2 B.3 C. D.﹣3 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】将等式两边平方,运用向量的平方即为模的平方,结合向量的数量积的坐标表示,解m的方程,即可得到. 【解答】解:若|+|=|﹣|, 则(+)2=(﹣)2, 即+2=﹣2, 即=0, 由向量=(m,2),向量=(2,﹣3), 则2m﹣6=0, 解得m=3. 故选:B. 【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于基础题.
6.山西阳泉某校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】系统抽样方法. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】求出系统抽样的抽取间隔,设抽到的最小编号x,根据编号的和为48,求x即可. 【解答】解:系统抽样的抽取间隔为=6. 设抽到的最小编号x, 则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48, 所以x=3. 故选:B. 【点评】本题考查了系统抽样方法,熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键.
7.如图给出的是计算的值的一个程序框图,则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是( ) A.n=n+2,i=15 B.n=n+2,i>15 C.n=n+1,i=15 D.n=n+1,i>15 【考点】程序框图. 【专题】计算题. 【分析】首先分析,要计算需要用到直到型循环结构,按照程序执行运算. 【解答】解:①的意图为表示各项的分母, 而分母来看相差2 ∴n=n+2 ②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件 而分母从1到29共15项 ∴i>15 故选B. 【点评】本题考查程序框图应用,重在解决实际问题,通过把实际问题分析,经判断写出需要填入的内容,属于基础题.
8. 三棱锥及其三视图中的正视图和俯视图如图所示,则 ? A.????B.?????C.????D.?? 【答案】B 【考点】考查空间几何体的表面积、棱长。
9.已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x﹣y的 最大值是( ) A.6 B.0 C.2 D.2 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为4的a值,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由作出可行域如图, 由图可得A(a,﹣a),B(a,a), 由,得a=2. ∴A(2,﹣2), 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z, ∴当y=2x﹣z过A点时,z最大,等于2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
10.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若,且,则下列关系一定不成立的是( ) A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2 【考点】余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】利用余弦定理表示出cosA,将已知第一个等式代入求出cosA的值,确定出A度数,再利用正弦定理化简第二个等式,求出sinB的值,确定出B的度数,进而求出C的度数,确定出三角形ABC形状,即可做出判断. 【解答】解:∵b2+c2﹣a2=bc, ∴cosA==, ∴A=30°, 由正弦定理化简b=a,得到sinB=sinA=, ∴B=60°或120°, 当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形, 得到a2+b2=c2,2a=c; 当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形, 得到a=c, 综上,b=c不一定成立, 故选:B. 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及直角三角形与等腰三角形的性质,熟练掌握定理是解本题的关键.
11.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧, ?=2(其中O为坐标原点),则△AFO与△BFO面积之和的最小值是( ) A. B. C. D. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及?=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题. 【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0), x=ty+m代入y2=x,可得y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1?y2=﹣m, ∵?=2,∴x1?x2+y1?y2=2,从而(y1?y2)2+y1?y2﹣2=0, ∵点A,B位于x轴的两侧, ∴y1?y2=﹣2,故m=2. 不妨令点A在x轴上方,则y1>0, 又F(,0), ∴S△BFO+S△AFO=??y1+??|y2 =(y1+) ≥?2 = 当且仅当y1=,即y1=时,取“=”号, ∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是, 故选:B. 【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.
12.已知函数f(x)=g(x)=,则函数f[g(x)]的所有零点之和是( ) A. B. C. D. 【考点】函数的零点. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先求得f[g(x)]的解析式,x≥0时,由,可解得:x=1或1﹣(小于0,舍去);x<0时,由=0,可解得:x=﹣,从而可求函数f[g(x)]的所有零点之和. 【解答】解:∵f(x)=g(x)=, ∴f[g(x)]=,且f[g(x)]=x2﹣2x+2,( 0<x<2) 分情况讨论:①x≥2或x=0时,由,可解得:x=1或1﹣(小于0,舍去); ②x<0时,由=0,可解得:x=﹣. ③当 0<x<2时,由x2﹣2x+2=0,无解. ∴函数f[g(x)]的所有零点之和是1=. 故选:B. 【点评】本题主要考察了函数的零点,函数的性质及应用,属于基本知识的考查.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的横线上。 13.已知tanα=,则tan(α+)= ﹣ . 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由两角和与差的正切函数公式即可求值. 【解答】解:tan()===﹣. 故答案为:﹣. 【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用,属于基本知识的考查.
14.若是等差数列,首项,则使成立的最大正整数是____________. 【答案】4030 15.某次测量发现一组数据(xi,yi)具有较强的相关性,并计算得=x+1,其中数据(1,y0)因书写不清,只记得y0是[0,3]任意一个值,则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为 .(残差=真实值﹣预测值) 【考点】回归分析. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】求出预测值,再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围,用几何概型解答. 【解答】解:由题意,其预估值为1+1=2, 该数据对应的残差的绝对值不大于1时,1≤y0≤3, 其概率可由几何概型求得, 即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==. 故答案为:. 【点评】本题考查了几何概型的概率公式,属于基础题.
16.点 A,B,C,D在同一球面上,AB=BC=,AC=2,若球的表面积为,则四面体ABCD体积的最大值为 . 【考点】球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积. 【解答】解:根据题意知,△ABC是一个直角三角形,其面积为1.其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上,设小圆的圆心为Q,球的半径为r, 因为球的表面积为, 所以4πr2= 所以r=, 四面体ABCD的体积的最大值,底面积S△ABC不变,高最大时体积最大, 就是D到底面ABC距离最大值时,h=r+=2. 四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==, 故答案为:. 【点评】本题考查的知识点是球内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值,是解答的关键.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17. 已知函数. (1)若,求的值; (2)在锐角中,,,分别是角,,的对边;若 的面积,求的值. 【答案】: ? ???????????……2分 (1),则 ,???????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? … (2). ,所以. 又∵,所以,所以,即.?????? 又∵为,且,所以.??????????????????? ? 由余弦定理得. ?解得??(舍负),所以.????????? 18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD. (Ⅰ)求证:AC⊥PD; (Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(I)利用面面垂直的性质定理即可证明; (II)线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD.在△PAD中,分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F,连接EF.由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用,即可得到EF∥AD,.利用已知条件即可得到,得到四边形BCFE为平行四边形,再利用线面平行的判定定理即可证明. 【解答】(Ⅰ)证明:∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AC⊥CD,AC?平面ABCD, ∴AC⊥平面PCD, ∵PD?平面PCD, ∴AC⊥PD. (Ⅱ)线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD.下面给出证明: ∵AD=3, ∴在△PAD中,分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F,连接EF. ∵,∴EF∥AD,. 又∵BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF, ∴四边形BCFE是平行四边形, ∴BE∥CF,BE?平面PCD,CF?平面PCD, ∴BE∥平面PCD. 【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键.
19.某机械厂今年进行了五次技能考核,其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,成绩统计情况如茎叶图所示(其中a是0﹣9的某个整数 (1)若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训,从成绩稳定性角度考虑,你认为谁去比较合适? (2)若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析,在抽取的两次成绩中,求至少有一次成绩在(90,100]之间的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)根据甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,可得a值,求出方差比较后,可得结论; (2)先计算从甲的成绩中任取两次成绩的抽法总数,和至少有一次成绩在(90,100]之间的抽法数,代入古典概型概率计算公式可得答案. 【解答】解:(1)由已知中的茎 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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