山西省阳泉市2016届高三全国高校招生考试模拟考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一个选项符号题目要求）

1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|
＞0}，则A∩（?RB）=（　　）

A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x＜2}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】集合．

【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．

【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|
＞0}，

∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}，

∴?RB═{x|﹣1≤x≤1}，

∴A∩（?RB）={x|0＜x≤1}，

故选：C

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．函数
在区间
上有最小值，则实数
的取值范围（ ）

A．
? ??????B．
??????? C．
???????? D．

【答案】C

3．山西阳泉某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（　　）

A．36种 B．38种 C．108种 D．114种

【考点】计数原理的应用．

【专题】排列组合．

【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．

【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．

根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．

由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，

故选A．

【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．

4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（　　）



A．3 B．126 C．127 D．128

【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．

【解答】解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，

当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，

当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，

故输出的x值为127

故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．

5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）



A．
 B．
 C．
 D．


【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】根据已知中的三视图可分析出该几何体的直观图，代入棱锥体积公式可得答案．

【解答】解：几何体如图所示，则V=
，


故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．

6． 有两个等差数列
，
，其前
项和分别为
和
，若
，则

A．
????? ???? B．
??????? ?????C．
????? ??????? D．?

【答案】D

【考点】考查等差数列的通项公式。

7．已知双曲线
﹣
=1的一个焦点与抛物线y2=4
x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±
x，则该双曲线的方程为（　　）

A．
﹣
=1 B．
﹣y2=1 C．x2﹣
=1 D．
﹣
=1

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】首先根据双曲线的焦点和抛物线的焦点重合，建立a，b，c的关系式，进一步利用双曲线的渐近线建立关系式，进一步确定a和b的值，最后求出双曲线的方程．

【解答】解：已知抛物线y2=4
x的焦点和双曲线的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为（
，0），

即c=
，

又因为双曲线的渐近线方程为y=±
x，

则有a2+b2=c2=10和
=
，

解得a=3，b=1．

所以双曲线的方程为：
﹣y2=1．

故选B．

【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．

8．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（　　）

A．
 B．
 C．
 D．


【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【专题】概率与统计．

【分析】总的事件数是C83，而从正方体的8个顶点中任取3个顶点可形成的等腰直角三角形的个数按所选取的三个顶点是只能是来自于该正方体的同一个面．根据概率公式计算即可．

【解答】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，

所以共有4×6=24个，

而在8个点中选3个点的有C83=56，

所以所求概率为
=


故选：C

【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

9．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（　　）

A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e）

【考点】函数零点的判定定理；导数的运算．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，

所以f（x）=lnx+e，再用零点存在定理验证，

【解答】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．

由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，

所以f（x）=lnx+e，

f′（x）=
，x＞0．

∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣
+e，

令g（x）=lnx﹣
+﹣e=lnx﹣
，x∈（0，+∞）

可判断：g（x）=lnx﹣
，x∈（0，+∞）上单调递增，

g（1）=﹣1，g（e）=1﹣
＞0，

∴x0∈（1，e），g（x0）=0，

∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）

故选：D．

【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．

10．如图，已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（　　）



A．y=±
x B．y=±3x C．y=±
x D．y=±
x

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①运用对称性和切线的性质可得m﹣1=n，②，可得a=1，再由c=2，可得b，结合渐近线方程即可得到．

【解答】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，

|PF1|=m，|QF1|=n，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①

由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，

|MF2|=|NF1|=n，

即有m﹣1=n，②

由①②解得a=1，

由|F1F2|=4，则c=2，

b=
=
，

由双曲线
﹣
=1的渐近线方程为y=±
x，

即有渐近线方程为y=
x．

故选D．



【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11． 下列命题中，真命题的序号为????????????.

（1）在
中，若
，则
；

（2）已知
，则
在
上的投影为
；

（3）已知
，
，则“
”为假命题；

（4）要得到函数
的图象，只需将
的图象向左平移
个单位．

【答案】（1）（3）

12．直线l：
（t为参数）与圆C：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是　[4
，16]　．

【考点】参数方程化成普通方程．

【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．

【分析】把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可．

【解答】解：直线l：
（t为参数），

化为普通方程是
=
，

即y=tanα?x+1；

圆C的参数方程
（θ为参数），

化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；

画出图形，如图所示
；

∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，

最小值是2
=2×
=2×
=4


∴弦长的取值范围是[4
，16]．

故答案为：[4
，16]．

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．

13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是　（﹣3，21）　．

【考点】等差数列的前n项和．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”即可得出．

【解答】解：∵数列{an}是等差数列，

∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，

由待定系数法可得
，解得x=3，y=6．

∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，

∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．

∴S9的取值范围是（﹣3，21）．

故答案为：（﹣3，21）．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

14．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是　
　．

【考点】点到直线的距离公式．

【专题】直线与圆．

【分析】把已知的等式变形，得到（m﹣1）（n﹣1）≥4，写出点到直线的距离，然后利用基本不等式得答案．

【解答】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=
，

∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），

∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2
，

∴m+n≥6，

则d=
≥3
．

故答案为：
．

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．

15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=
时，四边形MENF的面积最小；

③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；

④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；

以上命题中真命题的序号为　①②④　．



【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．

【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=
时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，
]时，EM的长度由大变小．当x∈[
，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．

故答案为：①②④．



【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16． 设函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）
的三边
所对的内角分别为
,若
，且
，求
面积的最大值.

【答案】（1）

?
，

（2）
?，

?整理得：

由基本不等式可得：

则

17．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：

A

7

7

7.5

9

9.5



B

6

x

8.5

8.5

y



由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；

（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）分别求出A和B的平均数和方差，由
，得x+y=17，由
，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，由x＜y，得x=8，y=9，记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含
个基本事件，共有
个基本事件，由此能求出2名学生颁发了荣誉证书的概率．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望．

【解答】解：（Ⅰ）∵
（7+7+7.5+9+9.5）=8，

=
（6+x+8.5+8.5+y），

∵
，∴x+y=17，①

∵
，

=
，

∵
，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②

由①②解得
或
，

∵x＜y，∴x=8，y=9，

记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含
个基本事件，

共有
个基本事件，

∴P（C）=
，

即2名学生颁发了荣誉证书的概率为
．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，

P（X=0）=
=
，

P（X=1）=
=
，

P（X=2）=
=
，

P（X=3）=
=
，

EX=
=
．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．

18．如图，椭圆C1：
的离心率为
，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若
，求直线AB的方程．



【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）椭圆C1：
的离心率为
，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，建立方程，求出几何量，即可求C1、C2的方程；

（Ⅱ）设直线MA、MB的方程与y=x2﹣1联立，求得A，B的坐标，进而可表示S1，直线MA、MB的方程与椭圆方程联立，求得D，E的坐标，进而可表示S2，利用
，即可求直线AB的方程．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：
的离心率为