2016年适应性考试

文科数学 2016年3月

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项:

1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设复数
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设
是两个题，若
是真命题，那么（ ）

A．
是真命题且
是假命题 B．
是真命题且
是真命题

C．
是假命题且
是真命题 D．
是假命题且
是假命题

5．已知等比数列
满足：
，
，

则
的通项公式
（ ）

A．
B．
C．
D．

6． 执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）

A．
B．

C．
D．

7．三角函数
的振幅和最小正周期分别为（　　）

A．
B．
C．
D．

8．已知过球面上有三点
的截面到球心的距离是球半径的一半，且
，

则此球的半径是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．在等腰三角形
中，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知椭圆
的离心率为
，椭圆上一点
到两焦点的距离之和为
，

则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为
的正方形，

两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

12．已知
是第二象限的角，其终边上的一点为
，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13．已知实数
满足约束条件
，若目标函数
仅在点
取得最小值，则
的取值范围是_________．

14．已知双曲线
的左焦点在抛物线
的准线上，则
_________．

15．已知
是定义域为
的单调递减的奇函数，若
，则
的取值范围是_________．

16．顶点在单位圆上的
中，角
所对的边分别为
．若
，
，

则
_________．

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

数列
的各项均为正数，
为其前
项和，且对任意的
，均有
，
，
成等差数列．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式．

18．（本小题满分12分）

某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了该校
名学生，调查结果如下：

（1）该校共有
名学生，估计有多少学生喜好篮球？

（2）能否有
%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与

性别有关？说明原因；

（3）已知在喜欢篮球的
名女生中，
名女生

（分别记为
同时喜欢乒乓球，

名女生(分别记为
）同时喜欢羽毛球，

名女生(分别记为
同时喜欢排球， 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取
人，求
不全被选中的概率．

附：
，
．

参考数据：

























19．（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱
中，底面
的棱
，

且
．点
、
在侧棱
上，且
.

（1）证明：
平面
；

（2）求点
到平面
的距离．

20．（本小题满分12分）

已知点
及直线
．
为平面上的动点，过
作直线
的垂线，垂足为点
，

且
．

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）设圆
过点
且圆心
在
的轨迹
上，
是圆
在
轴上截得的弦，

证明弦长
是一个常数．

21．（本小题满分12分）

设函数
．

（1）当
时，证明：
，有
；

（2）若曲线
有经过点
的切线，求
的取值范围．

请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.

22.(本小题满分10分)选修
:几何证明选讲

如图所示，
是半圆
的直径，
，垂足为
，
，
与
、
分别交于点
、
．

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)证明：
．

23.(本小题满分10分)选修
:坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，过点
的直线
的倾斜角为
．以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
,直线
和曲线
的交点为
．

(Ⅰ)求直线
的参数方程；

(Ⅱ)求
．

24.(本小题满分10分)选修
:不等式选讲

设函数
．

(Ⅰ)当
时，求不等式
的解集；

(Ⅱ)若
时有
，求
的取值范围．

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