江门市2016年高考模拟考试

数学（理科）2016.4.12

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（
是虚数单位）的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．等比数列
的前
（
）项和为
，若
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
，
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

4．若
（
）的最小正周期为
，
，则

A．
在
单调递增 B．
在
单调递减

C．
在
单调递增

D．
在
单调递减

5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图

是圆，若该几何体的表面积
，则它的体积

A．
B．
C．
D．

6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩
服从正态分布
，已知
，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取

A．
份 B．
份 C．
份 D．
份

7．执行如图2所示的程序框图，输出
的值是

A．
B．
C．
D．

8．若
的展开式中常数项为
，则实数

A．
B．
C．
D．

9．如果某射手每次射击击中目标的概率为
，每次射击的结果相互独立，那么他在
次射击中，最有可能击中目标的次数是

A．
B．
C．
或
D．

10．在平面直角坐标系
中，
是由不等式组
所确定的平面区域内的动点，
是圆
上的动点，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

11．函数
（
）的导函数为
，若
，且
，则

A．
的最小值为
B．
的最大值为

C．
的最小值为
D．
的最大值为

12．过双曲线
（
，
）的一个焦点
作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于
、
两点，若
，则双曲线离心率
的值所在区间是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设
：
，
：
，若
是
的充分不必充要条件，则实数
的取值范围是 ．

14．
三边的长分别为
，
，
，若
，
，则
．

15．对大于或等于
的自然数的
次方可以做如下分解：
，
，
，……，根据上述规律，
的分解式中，最大的数是 ．

16．已知平面区域
，
，
的概率
．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
是正项等差数列，
，数列
的前
项和
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设
，
，求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．

（Ⅰ）求理科班至少有
名学生入选集训队的概率；

（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设
表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求
的分布列和均值（数学期望）．

19．（本小题满分12分）

如图，
是四棱柱，侧棱
底面
，底面
是梯形，
，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）
是底面
所在平面上一个动点，
与平面
夹角的正弦值为
，试判断动点
在什么样的曲线上．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
（
）的焦距为
，且经过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）
、
是椭圆
上两点，线段
的垂直平分线
经过
，求
面积的最大值（
为坐标原点）．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
是常数，且
．

（Ⅰ）讨论
零点的个数；

（Ⅱ）证明：
，
．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙
的弦
、
相交于
，过点
作⊙
的切线与
的延长线交于点
．
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求⊙
的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）写出直线
和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）
是曲线
上任意一点，求
到直线
的距离的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知非零常数
、
满足
，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，
恒成立，求常数
的取值范围．

评分参考

一、选择题：BADD CBAC BBAC

二、填空题：⒔
⒕
⒖
⒗

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）依题意，设
（
、
是常数，且
）……1分

，即
……2分

，即
……3分

解
得
（舍去），或
，
……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，

……7分

为偶数时，
……8分，

……9分

为奇数时，

……10分

……11分

所以，
……12分

18．解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为
……2分

理科班有1名学生入选集训队的概率为
……4分

理科班至少有
名学生入选集训队的概率为
……5分

（Ⅱ）
，
，
……6分

……7分，
……8分
……9分




















的分布列为：

……10分

的均值（数学期望）
……12分

19．证明与求解：（Ⅰ）取
的中点
，连接
，则

，
是平行四边形……1分

，
是正三角形，
，

，
……2分

因为侧棱

，
，
，所以
面
……3分，
平面
，所以平面
平面
……4分

（Ⅱ）以
为原点，
、
、
为
轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系……5分，则
，
，
，并设
……6分

设平面
的一个法向量为
，则

……7分，
，取
……8分

…10分

依题意，
，即
……11分

化简整理得，
，动点
的轨迹是一条抛物线……12分

20．解：（Ⅰ）依题意，
，椭圆
的焦点为
，
……1分

……3分

所以
，椭圆
的方程为
……4分

（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线
与
轴不垂直，设直线
：
……5分

由
得，
……6分

设
，
，则
，