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揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题

数学(文科)

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知复数
(
为虚数单位)，
的共轭复数为
，则

（A）
（B）
（C）4 （D）

（2）已知集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知向量
，若（
）与
互相垂直，则
的值为

（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

（4）已知命题
，命题
，则下列判断正确的是

（A）命题
是假命题 （B）命题
是真命题

（C）命题
是假命题 （D）命题
是真命题

（5）已知双曲线
两条渐近线的夹角为
，则该双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
或2 （D）4

（6）已知函数
，则
的值为

（A）9 （B）
（C）
（D）

（7）已知等差数列
的公差不为0，
，且
成等比数列，设
的前n项和为
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）函数
（
）图象的大致形状是

（9）若直线
上存在点
满足条件
则实数
的最大值为

（A）
（B）
（C）1 （D）3

（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球球（球的半

径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为

（A）1 cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm

（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为

(A)
(B)

(C)
(D)

（12）已知P是直线
上一动点，PA、PB是

圆C：
的两条切线，切点分别为A、B，若

四边形PACB的最小面积为2，则
的值为 图2

（A）3 （B）2

（C）1 （D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．

(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的
值为 .

(15)已知函数
的图象在点A
处的切线
与直

线
垂直，记数列
的前n项和为
，则

的值为 .

(16) 已知梯形ABCD中，AD//BC，
,AD=2，BC=1，

P是腰AB上的动点，则
的最小值为 . 图3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，
，且

.

(Ⅰ)求△ABC的面积；

(Ⅱ)若
，求AD的长. 图4

（18）（本小题满分12分）

某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产

量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中

点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg. 已知当 图5

年产量低于450 kg时，单位售价为12元/ kg，当年产量不低于

450 kg 时，单位售价为10元/ kg.

（Ⅰ）求图中a、b的值；

（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且
，AB=PC=2，PA=PB=
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求点D到平面APC的距离.

图6

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
与抛物线
有公共弦AB（A在B左边），AB=2，
的顶点是
的一个焦点，过点B且斜率为

的直线l与
、
分别交于点M、N（均异于点A、B）．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求
的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（
）．

(Ⅰ) 判断函数
的单调性；

(Ⅱ)若存在实数
，使得
对
均成立，求
的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．

(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲

如图7所示，⊙O和⊙P相交于
两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．

(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB的长；

(Ⅱ) 若AC=3，求AE的长．

(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

已知椭圆
的普通方程为：
．

(Ⅰ) 设
，求椭圆
以
为参数的参数方程；

(Ⅱ) 设
与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是
上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中
为坐标原点）

(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲

已知
，

(Ⅰ) 若
的最小值是
，求a的值；

(Ⅱ)求
的解集．

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

A

D

C

D

C

C

B

C

A

B



解析：（7）由
，得公差d=1，
；故选C.

（10）设球的半径为
，依题意得
.

（11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：

.

(12)

，

可知当|
最小时，即
时，其面积最小，由最小面积
得
，

由点到直线的距离公式得：
，因
，所以
.

二、填空题：

题号

13

14

15

16



答案

60

6



3



解析：（15）依题意知函数
的图象在点A
处的切线斜率

，故
，

．

（16）如图以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则

，要
取最小值，只需
取最小值，因E为CD的中点，故当

时，
取最小值，这时PE为梯形的

中位线，即
,

故
.

三、解答题：

（17）解：(Ⅰ)∵
，∴
,----2分

即
，----------------------------------------------------3分

∴
.-------5分

(Ⅱ)解法1：由
得
，

延长AD到E，使AD=DE，连结BE，---------------6分

∵BD=DC,

∴四边形ABEC为平行四边形，∴
,且
-----------8分

设
，则
，在△ABE中，由余弦定理得：

,-----------------------10分

解得
，即AD的长为
.--------------------------------------12分

【解法2：由
得
，

在△ABC中，由余弦定理得：
,

得
，----------------------------------------------------------------------------------------------7分

由正弦定理得：
，

得
，----------------------------------------9分

∵
∴
，--------------10分

在△ADC中，
，

解得
.------------------------------------------------------12分】

【解法3：由
得
，

在△ABC中，由余弦定理得：
,

得
，--------------------------------------------------------------------------------------7分

在△ABC中，
,------------9分

在△ADC中，由
，

解得
.-------------------------------------------------------12分】

（18）解：（Ⅰ）由
，

得
，-------------------------------------------------2分

由
，

得
，-----------------------------------------------4分

解得
，
；----------------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，

当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，

当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，

当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，

当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，-------------------------8分

因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分

而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分

故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分

(19)解：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，----1分

由PA=PB=
，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，

∴PO⊥AB，PO=1，------------------------------------------------------------------2分

又AB=BC=2，
知△ABC为等边三角形，∴
---3分

又由
得
, ∴PO⊥CO，-----------4分

∴PO⊥平面ABC，-------------------------------------------5分

又∵
平面PAB，∴平面
平面
-----------------------6分

（Ⅱ）设点D到平面APC的距离为h，

由(Ⅰ)知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形，

由
得
---------------------------------------------8分

∵
，
,---------------------10分

∴