广雅中学2015～2016学年第二学期高三年级5月月考试题

理科数学

考试时量：120分钟 满分：150分

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分 选择题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.设复数z满足|z|<1且
则|z| ＝( )

2.
的值是（ ）

A.
B.
C. 2 D .

3.先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( )

A.
B.
C.
D.

4．等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是______寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

A. 1 B . 2 C. 3 D. 4

6．定义某种运算
，运算原理如图所示，则
的值为 （ ）

A.15 B.13 C.8 D.4【来源：全,品…中&高*考+网】

【来源：全,品…中&高*考+网】

第6题图 第7题图

7..如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （　　）

A．54 B.27 C.18 D.9

8．过双曲线
的右焦点
作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图,在平行四边ABCD中,∠ABD=90.,2AB2 +BD2 =4,若将其沿BD折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为 （ ）A.
B.
C.
D.

10．
的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．下列四个命题中，正确的有( )

①两个变量间的相关系数
越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题“
，使得
”的否定是:“对
， 均有
” ；

③命题“
为真”是命题“
为真”的必要不充分条件；

④若函数
在
有极值
，则
或
.

A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D．3个

12．若函数
满足：在定义域
内存在实数
，使得
成立，则称函数
为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：①
； ②
； ③
； ④
．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

第二部分 非选择题

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.已知向量
，向量
．若向量
在向量
方向上的投影为3，则实数
＝ ．

14.已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的方程为 .

15.已知
满足
，则
的取值范围是 .

16．设数列
的前
项和为
，且
，
为等差数列，

则数列
的通项公式
．

三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

如图,
是直角
斜边
上一点,
．

（Ⅰ）若
,求角
的大小；

（Ⅱ）若
,且
,求
的长．

18.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证AM//平面BDE； （2）求二面角A(DF(B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60(。

19．（本小题满分12分）

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



 （Ⅰ）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5－7分钟，乙每次解答一

道几何题所用的时间在6－8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答

完的概率．

（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，

记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

附表及公式：

20.已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合

（1）求抛物线
的方程

（2）已知动直线
过点
，交抛物线
于
两点，坐标原点O为
中点，求证
；

（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以
为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由。

21.已知函数
在
处存在极值。

(1)求实数
的值；

(2)函数
的图像上存在两点A，B使得
是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在
轴上，求实数
的取值范围；

(3)当
时，讨论关于
的方程
的实根个数。

请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.选修4－1：几何证明选讲

如图，
的角平分线
的延长线交它的外接圆于点

（1）证明：
∽△
;

（2）若
的面积
，求
的大小.

23.选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的圆心坐标为
，半径为2. 以极点为原点，极轴为
的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数）

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）设
与圆C的交点为
，
与
轴的交点为
，求
.

24.选修
：不等式选讲

已知函数
．

（1）当
时，已知
，求
的取值范围；

（2）若
的解集为
，求
的值．

 参考答案

1.【答案】D【解析】由
得
，已经转化为一个实数的方程.解得|z| ＝2（舍去），

2.【答案】C 3【答案】D 4.【答案】B

5.【答案】C【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，所以水面半径为
(14+6)=10寸 则盆中水的体积为
π×9(62+102+6×10)=588π（立方寸）．∴则平地降雨量等于
=3（寸）．

6.【答案】B 7【答案】C 8.【答案】D 9【答案】A 10.【答案】B 11.A

12.B【解析】对于①，若存在实数
，满足
，则
所以
，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数
，满足
，则
，解得
，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数
，满足
，则

，化简得
，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于④，注意到
,
，即
，因此是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B 13.【答案】

14.
因为抛物线的焦点坐标为（4，0），故双曲线的半焦距
.因为双曲线的渐近线方程是
,所以
,即
,由
得
,进而求得
,故所求的双曲线方程是
. 15.【答案】
16.【答案】

17.解： （Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有
.

因为
,所以
.

又
所以
.

于是
,所以
. ……………………6分

（Ⅱ）设
,则
,
,
.于是
,
,

在
中,由余弦定理,得
,

即
,得
. 故
………12分

18.【解析】 (1)记AC与BD的交点为N,连接NE, ∵N.M分别是AC.EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形ANEM是平行四边形， ∴AM∥NE。

∵
平面BDE，
平面BDE， ∴AM∥平面BDE。

（2） 建立如图所示的空间直角坐标系。

则是N
.E（0,0,1）,∴
=
,

A（
）.M
∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
=A∴AB⊥平面ADF。

∴
为平面DAF的法向量。又∵
=
·
=0

∴
=
·
=0 ∴
为平面BDF的法向量。

∴cos<
>=
∴
与
的夹角是60o。即所求二面角A—DF—B的大小是60o。

（3）设P(t,t,0) (0≤t≤
)得

=（
，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o ∴

解得t=
或t=
（舍去），即点P是AC的中点。

解：(1)由表中数据得
的观测值

…………2分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.………3分

(2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示)

设事件
为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
………5分

即乙比甲先解答完的概率为
………7分

(3) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种

可能取值为
， …………………………………………8分

，
，
………10分

的分布列为：

0

1

2













……11分
………12分

20.【解析】（1）抛物线的焦点为
，
。所以抛物线的方程为

（2）设
由于O为PQ中点，则Q点坐标为（-4,0）

当
垂直于x轴时，由抛物线的对称性知
当
不垂直于x轴时，设

由

∴

(3) 设存在直线m：
满足题意，则圆心
，过M作直线x=a的垂线，垂足为E。设直线m与圆的一个交点为G，则
.即

当a=3时，
此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值
。因此存在直线m：x=3满足题意。

21.因为函数
在
处存在极值，所以
解得

(2) 由（1）得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数，

不妨设
. 若
，则

由
是直角得，
，即
， 即
.此时无解；

若
，则
. 由于AB的中点在
轴上，且
是直角，所以B点不可能在
轴上，即
. 同理有
，即
=0，
.

因为函数
在
上的值域是
∴实数
的取值范围是

（3）由方程
，知
，可知0一定是方程的根，

∴仅就
时进行研究：方程等价于
构造函数

对于
部分，函数
的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当
时取得最大值
，其值域是
；

对于
部分，函数
，由
，知函数
在
上单调递增.

∴①当
或
时，方程
有两个实根；②当
时，方程
有三个实根；

③当
时，方程
有四个实根

22.【解析】（1）由已知条件，可得
.

因为
与
是同弧上的圆周角，∴
. ∴
∽△
.

(2) 因为△ABE∽△ADC，所以
，即AB·AC＝AD·AE.

又∵
AB·ACsin∠BAC，且
AD·AE， ∴AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.

23.【解析】（1）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标为
，所以圆C的方程为
即
， 化为极坐标方程得
，即

法二：令圆Ｃ上任一点
，在
中（其中Ｏ为极点），
，

由余弦定理得
从而圆Ｃ的极坐标方程为

（2）法一：把
代入
得
，所以点A、B对应的参数分别为
令
得点P对应的参数为

∴

法二：把
化为普通方程得
，

令
得点Ｐ坐标为
，又∵直线l恰好经过圆Ｃ的圆心Ｃ，

∴

24.【解析】（1）因为
，等号成立当且仅当
，

即
，故
的取值范围为

（2）因为
当
时，不等式
解集为
，不合题意；

当
时，不等式
的解为
或

即
或
，又因为解集
，解得
．

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