中山市华侨中学2016届高三4月高考模拟

理科数学试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则
=（　　）

A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C． {x|﹣2≤x＜1} D． {x|﹣2≤x≤3}

2.设
为虚数单位，则复数
（　　）

A．
B．
C．
D．

3．若
，则向量
与
的夹角为（ 　）

A．
B.
C.
D.

4．某滨海城市计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园，由于资金的原因，打算减少2个海边主题公园，两端海边主题公园不在调整计划之列，相邻的两个海边主题公园不能在同时调整，则调整方案的种数是

A．12 B．8 C．6 D．4

5．如图，函数
的图象为折线
，则不等式
的解集是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知点
，点
坐标的
满足
，则
（
是坐标原点）的最值的最优解是( )

A．最小值有无数个最优解，最大值只有一个最优解 B．最大值、最小值都有无数个最优解

C．最大值有无数个最优解，最小值只有一个最优解 D．最大值、最小值都只有一个最优解

7.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该程序框图，输入分别为
，则输出的结果是（ ）

A．14 B．18 C．9 D．7

8．在正项数列
中，且
，对于任意的
，
，
的等差中项都是
，则数列
的前
项的和为( )

A．
B．
C．
D．

9．某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示，该几何图形的体积或面积分别是( )

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

10．在
中，
分别为
的对边，如果
成等差数列，
，
的面积为
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设函数
则满足
的 a取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12．过点
作抛物线
的两切线，切点分别为
，
，则直线
的方程为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.已知O为坐标原点，A，B，C是圆O上的三点，若
=
（
+
），
，过点
的直线
与圆O相切，则直线
的方程是 。

14．已知函数
．
在区间
上的最小值是 。

15．
的二项式展开式中常数项的二项式系数为 （用符号或数字作答）．

16.由函数
和
的图像与直线
所围成的封闭图形的面积是 ．

三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)数列
的前
项和是
，且
.

⑴求数列
的通项公式；

⑵记
，数列
的前
项和为
，若不等式
，对任意的正整数
恒成立，求
的取值范围。

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥
的底面
为矩形，
平面
，点
是棱
的中点，点
是
的中点
.

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）若
为正方形，探究在什么条件下，二面角
大小为
？

19．（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.

（Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记
，求随

机变量
的分布列与数学期望
.

20.（本小题满分12分）直角坐标系
平面内，已知动点
到点
与
的距离之比为
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）是否存在经过点
的直线
，它与曲线
相交于
，
两个不同点，且满足
（
为坐标原点）关系的点
也在曲线
上，如果存在，求出直线
的方程；如果不存在，请说明理由．

21．(本小题满分l2分)已知函数
，
∈R．

(I)讨论函数
的单调性；

(Ⅱ)当
时，
≤
恒成立，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则 所做的第一个题目计分．

22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,已知
、
、
分别是△
三边的高，
是垂心，
的延长线交△
的外接圆于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线
的参数方程为
（
为参数，且
），曲线
的极坐标方程为
（
是常数，且
）．

（Ⅰ）求曲线
的普通方程和曲线
直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线
被曲线
截的弦是以
为中点，求
的值．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若方程
有三个不同的解，求
的取值范围．

2016年全国高考数学模拟试题三答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

C

C

A

D

D

A

B

B

A





13

14

15

16




或











17.解：

(1)由题设得：
①
②

①-②可得
，则

当
时
，则
，则
是以
为首项，
为公比的等比数列，因此
.

(2)
，所以
。

所以
。

所以

18．解析：（Ⅰ）连接
，设
，连结
，

∵ 四边形
为矩形，

∴
是
的中点，

∵　点
是棱
的中点，

∴　
∥
，

又　
平面
，
平面
，

∴　
∥平面
。

另解析：

易知
，
，
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系
，设
，
，
则
，
，
，
，
。

设
，连结
，则
，
。

（Ⅰ）因为
，
，

所以
，所以
∥
，即
∥
。

平面
，
平面
，从而得
∥平面
。

（Ⅱ）此时，
，
，
，
，
，
，
，
，

因为
轴
平面
，所以设平面
的一个法向量为
，而
，所以
，得
，所以
。

因为
轴
平面
，所以设平面
的一个法向量为
，而
，所以
，得
，

所以
∥
。

，得
。

即当
等于正方形
的边长时，二面角
的大小为
．

19．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为
，去参加乙