2016年中山市华侨中学模拟考试文科数学试题2016/3/28

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

（2）给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间
上单调递减的函数序号是

A．①④ B．②③ C．③④ D．①②

（3）设
,则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（4）设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为

(A)
???? (B)
?????? (C)
????? (D)

（5）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为A．
B．
C．
D．

（6） 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图与侧视图中x的值为

A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

（7）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{
}，若a3 =8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是

A．13 ,12 B．13 ,13 C．12 ,13 D．13 ,14．

（8）曲线y=
+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

A．
B．
C．
D．1

(9)已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

（10）若
表示不超过
的最大整数，执行如图所示

的程序框图，则输出
的值为

A.
B.
C.
D.

（11）已知S,A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,SA=AB=l，BC=
，则球O的表面积等于

A．4
B．3
C．2
D．

（12）若函数
，并且
，则下列各结论正确的是

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

（13）数列
的首项为3，
为等差数列且
，若
，
，则
.

（14）已知向量
，若
⊥
，则16x+4y的最小值为　　．

（15）已知直线
与双曲线
交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是 .

（16）如图甲, 在
中,
,
,
为.垂足, 则
, 该结论称为射影定理. 如图乙, 在三棱锥
中,
平面
,
平面
,
为垂足, 且
在
内, 类比射影定理, 探究
、
、
这三者之间满足的关系是

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）( 本小题满分12分)

已知向量

（1）当
时，求
的值；

（2）已知在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，
,函数
，求
的取值范围.

（18）（本小题满分12分）

某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少
的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.

（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区
，调查显示其“低碳族”的比例为
，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区
是否达到“低碳小区”的标准？

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD＝，CD＝4，AD＝．

（Ⅰ）若∠ADE＝，求证：CE⊥平面PDE；

（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积．

（20）（本小题满分12分）

已知
是椭圆
的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，
,若椭圆的离心率等于
.

（1）求直线
的方程（
为坐标原点）；

（2）直线
交椭圆于点
，若三角形
的面积等于4
，求椭圆的方程．

（21）（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对于任意
都有
成立，求实数
的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。

(22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
为直角三角形，
，以
为直径的圆交
于点
，点
是
边的中点，连
交圆
于点
．

（Ⅰ）求证：
四点共圆；

（Ⅱ）求证：
．

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，圆
的方程为
．

（Ⅰ）求圆
的圆心到直线
的距离；

（Ⅱ）设圆
与直线
交于点
．若点
的坐标为（3，
），求
．

(24)（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲

已知函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围。

2016年高考文科数学模拟试题答案2016/3/28

一、选择题

（1）A （2）B （3）A （4）B （5）D

（6）C （7）B （8）B （9）D （10）C (11)A

(12)D

【解析】
，
，令
则
在
成立，所以g（x）为
的减函数，所以
，所以
，所以
为
的减函数，所以
．

二、填空题

（13）
（14） 8 （15）
（16）

三、解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx=
．

∴
． …………………………4分

（II）∵在△ABC中，A+B=
-C，于是
，

由正弦定理知：
，

∴
，可解得
． ………………………………………………6分

又△ABC为锐角三角形，于是
，

∵
=(m+n)·n =(sinx+cosx，2)·(sinx，-1)=sin2x+sinxcosx-2

=
=
，

∴
．……………………10分

由
得
，

∴ 0

即
．………………………………………………12分

(18)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为
，两个“低碳小区”为
…2分

用
表示选定的两个小区，
，

则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是
，
，
,
,
,
,
,
,
,
. 5分

用
表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则
中的结果有6个，它们是：
，
,
,
，
,
. …7分

故所求概率
. ……8分

（II）由图1可知月碳排放量不超过
千克的成为“低碳族”. ……10分

由图2可知，三个月后的低碳族的比例为
，…………11分

所以三个月后小区
达到了“低碳小区”标准. …………12分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD＝，∠ADE＝，

∴AE＝AD·tan∠ADE＝·＝1．

又AB＝CD＝4，∴BE＝3．

在Rt△EBC中，BC＝AD＝，∴tan∠CEB＝＝，∴∠CEB＝．

又∠AED＝，∴∠DEC＝，即CE⊥DE．

∵PD⊥底面ABCD，CE
底面ABCD，

∴PD⊥CE．

∴CE⊥平面PDE．……………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD
平面PDE，

∴平面PDE⊥平面ABCD．

如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，

∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF＝．

在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得

AE＝·，解得AE＝2．

∴S△APD＝PD·AD＝××＝，

S△ADE＝AD·AE＝××2＝，

∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，

∵PA
平面PAD，∴BA⊥PA．

在Rt△PAE中，AE＝2，PA＝＝＝，

∴S△APE＝PA·AE＝××2＝．

∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧＝＋＋．…………………………（12分）

（20）（本小题满分12分）

解：（1）由
,知
，因为椭圆的离心率等于
,

所以，

可得
，设椭圆方程为
--------2分

设
，由
,知

∴
,代入椭圆方程可得
--------4分

∴A（
），故直线
的斜率
--------5分

直线
的方程为
--------6分

（2）连结

由椭圆的对称性可知,
， --------9分

所以
-------10分

又由
解得
,故椭圆方程为
------12分

（21）（本小题满分12分）

解：（1）当
时，
，得
．………1分

因为
，

所以当
时，
，函数
单调递增；

当
或
时，
，函数
单调递减．

所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
和
．……3分

（2）方法1：由
，得
，

因为对于任意
都有
成立，

即对于任意
都有
成立，

即对于任意
都有
成立，………………………………4分

令
，要使对任意
都有
成立，

必须满足
或
…………………………………………5分

即
或
…………………………………………6分

所以实数
的取值范围为
．……………………………………………7分

方法2：由
，得
，

因为对于任意
都有
成立，

所以问题转化为，对于任意
都有
．………………4分

因为
，其图象开口向下，对称轴为
．

①当
时，即
时，
在
上单调递减，

所以
，

由
，得
，此时
．…………………………………5分

②当
时，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

所以
，

由
，得
，此时
．……………………………6分

综上①②可得，实数
的取值范围为
．…………………………………………7分

（3）设点
是函数
图象上的切点，

则过点
的切线的斜率为
，…………………………………8分

所以过点
的切线方程为
．……………9分

因为点
在切线上，

所以

即
．……………………………10分

若过点
可作函数
图象的三条不同切线，

则方程
有三个不同的实数解．……………………………………10分

令
，则函数
与
轴有三个不同的交点．

令
，解得
或
．

因为
，
，

所以必须
，即
．

所以实数
的取值范围为
．………………………………………………12分

（22） （本小题满分10分）

解：（1）连接
，则
……………………………………………1分

又
是
的中点，所以
……………………………………………3分

又
，所以
，所以

故
四点共圆． …………………………………………………………5分

(2) 延长
交圆于点
，

……………………8分

，即
……10分

（23）（本小题满分10分）

解：（1）由
得
，即

由
得

所以
…………………4分

（2）将
的参数方程代入圆
的直角坐标方程，得

即
，由于

故可设
是上述方程的两实根，所以
，又直线
过点
,故由上式及
的几何意义得：
…………………10分

（24）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题设知：
，

令
，解得
，这就是两个分界点。把全体实数分成3个区间。

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或
，或
………………3分

解得函数
的解集为
； ………………………………5分

（Ⅱ）不等式
即
，

时，恒有
，…………………………8分

不等式
解集是R，

的取值范围是
．…………………………………………………………10分

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