中山市2016届高三高考模拟试题（文科数学）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（必考题和选考题两部分）两部分.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集
，
，
，则

A.
B.
C．
D．

2.已知复数
,若
为实数，则
＝

A.2　　 B.－2 　　 　C.－
　 　D.

3.设
,则

A.
B.
C.
D.

4.已知抛物线
的准线与椭圆
相切，则
的值为

A．2 B．3 C．4 D．5

5．已知
，
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的

几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是

A.a,b B.a,c C.c,b D.b,d

7.已知
中，
为
上一点，且
，则

A．
B．
C．
D．

8.若下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是

A．
B．

C．
D．

9. 已知函数
的图象的一个对称中心为

（
，0），则下列说法不正确的是

A．直线
是函数
的图象的一条对称轴??

B．函数
在
上单调递减

C?．函数
的图象向右平移
个单位可得到
的图

D．?函数
在
的最小值为

10.函数
的图像大致为.

11.过双曲线
（
，
）的一个焦点
作一条渐近线的垂线，垂足为点
，与另一条渐近线交于点
，若
，则此双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

12． 函数
（函数
的函数值表示不超过
的最大整数，如

，
），设函数
，则函数
的零点的个数为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学校准备从4名男同学和2名女同学中选出2人代表学校参加数学竞赛,则至少一名女同学被选中的概率是__________.

14.已知几何体
的底面
是边长为
的正的方形,且该几何体体积的最大值为
，则该几何体外接球的表面积为__________.

15.如图，在
中,
是
上的一点.已知
,则
__________.

16.设不等式组
所表示的平面区域为
，若

的最大值为
，则
的最小值为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）设公差不为零的等差数列
的前
项的和为
，且
成等比数列.

（1）求数列
的通项公式.

（2）设数列
，求证：数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在人民医院，共有
个猴宝宝降生，其中
个是“二孩”宝宝；博爱医院共有
个猴宝宝降生，其中
个是“二孩”宝宝．

（1）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取
个宝宝做健康咨询．

①在人民医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？

②若从
个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；

（2）根据以上数据，能否有
%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？

19.（本小题满分12分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝

∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）求证：CE∥平面PAB．

（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．

20.（本小题满分12分）已知曲线
上任意一点到原点的距离与到
的距离之比均为
．

（1）求曲线
的方程.

（2）设点
,过点
作两条相异直线分别与曲线
相交于
两点,且直线
和直线
的倾斜角互补,求证：直线
的斜率为定值.

21.（本小题满分12分）已知函数
，其中
为常数．

（1）当
时，若
在区间
上的最大值为
，求
的值.

（2）当
时，若函数
存在零点，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB上．连结EC，CD．

(1)证明：直线AB是圆O的切线.

(2)若tan∠CED＝
，圆O的半径为3，求OA的长．

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数)，以原点为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

(1)求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程.

(2)设点
，曲线
与曲线
交于
,求
的值.

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数

(1)若
的解集为
，求实数
的值.

(2)当
且
时，解关于
的不等式
.

2016年中山市5月文科数学模拟试题答案

一、选择题 BABCDA DDCCCA

二、填空题 13、
； 14、
； 15、
； 16、

三、解答题

17.（1）设等差数列的的首项为
，公差为
，

则
或
（舍去）

故数列
的通项公式为
即
.………… 5分

（2）由（1）
，

得
.…………7分

那么

.………… 12分

18．解：（1）①由分层抽样知在人民医院出生的宝宝有
个,

其中一孩宝宝有2个.………… 2分

② 在抽取7个宝宝中,人民医院出生的一孩宝宝2人,分别记为
,二孩宝宝2人,分

别记为
,博爱医院出生的一孩宝宝2人,分别记为
,二孩宝宝1人,记为
,从7人中抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件空间为
… 5分

用
表示：“两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩”，则

……… 7分

（2）
列联表

一孩

二孩

合计



人民医院

20

20

40



博爱医院

20

10

30



合 计

40

30

70



 ………… 9分

，故没有85％的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关. ………… 12分

19、（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM
平面PAB，PA
平面PAB，∴EM∥平面PAB

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC
平面PAB，AB
平面PAB，∴MC∥平面PAB

∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC
平面EMC，∴EC∥平面PAB-----------5分

（2）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．

又EF//CD，∴EF⊥平面PAC．即EF为三棱锥E－AFC的高

因为
，得
,-----------7分

从而

在
中，

于是
，设F到平面AEC的距离为

由
即

故F到平面AEC的距离为
------------12分

20、(1) 曲线
上的任意一点为
，

由题意得
-------5分

(2)由题意知, 直线
和直线
的斜率存在,且互为相反数,

故可设
,-------6分

由

因为点
的横坐标
一定是该方程的解,故可得
，

同理,
,

所以

故直线
的斜率为定值
。-------12分

21．（1）由题意
，令
解得

因为
，所以
，

由
解得
，由
解得

从而
的单调递增区间为
，减区间为

所以，
，解得
．-------5分

（2）函数
存在零点，即方程
有实数根，

由已知，函数
的定义域为
，当
时，
，

所以
，------7分

当
时，
；当
时，
，所以
的单调增区间为
，减区间为
，所以
，所以
．

令
，则
．当
时，
；

当
时，从而
在
上单调递增，在
上单调递减，

所以
，要使方程
有实数根，

只需
即可，则
．-------12分

22．(1)证明：连结
. 因为
，所以
又
是圆
的半径，所以
是圆
的切线. -------4分

(2)因为直线
是圆
的切线，所以
又
，

所以
则有
，

又
，

故
.

设
，则
，又
，故
，即
.

解得
，即
. 所以
---