2016年适应性考试

理科数学

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若
为纯虚数，其中
R，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
为数列
的前
项的和，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4． 执行如图的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）

A．
B．

C．
D．

5．三角函数
的振幅和最小正周期分别是（　　）

A．
B．
C．
D．

6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
　　 　　 B．
　　 　

C．
　　 D．

7．设
、
是两个命题，若
是真命题，那么（ ）

A．
是真命题且
是假命题 　

B．
是真命题且
是真命题 　

C．
是假命题且
是真命题

D．
是假命题且
是假命题

8．从一个边长为
的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这
个点中任取两个点，则这两点间的距离小于
的概率是（ ）

A．
　B．
　 C．
D．

9．已知平面向量
、
满足
，
，则
（ ）

A．
　B．
　 C．
D．

10．
的展开式中，常数项等于（ ）

A．
　B．
　 C．
D．

11．已知双曲线的顶点为椭圆
长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于
，则双曲线的方程是（　 ）

A．
B．
　 C．
D．

12．如果定义在R上的函数
满足：对于任意
，都有

，则称
为“
函数”．给出下列函数：①
；②
；③
；④
，其中“
函数”的个数是（ ）

A．
　 B．
　 C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知实数
，
满足约束条件
，若目标函数
仅在点
取得最小值，则
的取值范围是 ．

14．已知双曲线
的左焦点在抛物线
的准线上，则
．

15．已知数列
的各项均为正数，
为其前
项和，且对任意的
N
，均有
，
，
成等差数列，则
．

16．已知函数
的定义域为R，直线
和
是曲线
的对称轴，且
，则

．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且

．

（1）
的值；

（2）若
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）

某单位共有
名员工，他们某年的收入如下表：

员工编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



年薪（万元）

3

3.5

4

5

5.5

6.5

7

7.5

8

50



（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取
人，此
人中年薪收入高于
万的人数记为
，求
的分布列和期望；

（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为
万元、
万元、
万元、
万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程
中系数计算公式：
，
，

其中
、
表示样本均值．

19．（本小题满分12分）

如图，在直二面角
中，四边形
是矩形，
，
，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，点
是线段
上的一点，
．

（1）证明：
面
；

（2）求异面直线
与
所成的角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
：
，过其焦点
作两条相互垂直且不平行于
轴的直线，分别交抛物线
于点
，
和点
，
，线段
，
的中点分别记为
，
．

（1）求
面积的最小值；

（2）求线段
的中点
满足的方程．

21．（本小题满分12分）

设函数
（
）．

（1）求
的单调区间；

（2）求
的零点个数；

（3）证明：曲线
上没有经过原点的切线．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
是半圆
的直径，
，垂足为
，
，
与
、
分别交于点
、
．

（1）证明：
；

（2）证明：
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，过点
的直线
的倾斜角为
．以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
,直线
和曲线
的交点为点
．

（1）求直线
的参数方程；

（2）求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
时有
，求
的取值范围．

2016年适应性测试理科数学答案

一．选择题

（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D

（7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C

二．填空题

（13）
（14）4 （15）
（16）2

三．解答题

（17）解：

（Ⅰ）

，由正弦定理得：

，

又


，
.

（Ⅱ）由
，由
.

由余弦定理

.

.

（18）解：

（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.

（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
取值为0，1，2.

，
，
，

所以
的分布列为

0

1

2













数学期望为
.

（Ⅲ）设
分别表示工作年限及相应年薪，则
，

由线性回归方程：
.

可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.

（19）解：

（Ⅰ）
,
，

，

；

又因为
，
，
，而
.

.

平面.

（Ⅱ）过
作
，分别交
于
，
的补角为
与
所成的角.连接
，
.

所以异面直线
与
所成的角的余弦值为
.

向量法：

（Ⅰ）以
为原点，向量
，
，
的方向分别为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
.

，
，

，
，

，
.

，
.

，
.

，
，
，

.

（Ⅱ）
，
，记
与
夹角为
，则