中山市华侨中学2016届高三4月高考模拟

文科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．已知全集
，集合
，则CuM（　　）

A．
B．

C．
D．

2．如图，在复平面内，若复数
对应的向量分别是
，则复数
所对

应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．
B．

C．
D．

4．设
，则“
”是“
恒成立”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知
是等差数列，
为其前
项和，若
，则
（　　）

A. -2014 B. 2014

C. 1007 D. 0

6．已知向量

，若
与
的夹角为钝角，则
的取值范围是（　　）

A.
B.

C.
D.

7．如图所示，若输入的
为
，那么输出的结果是（　　）

A．
B．

C．
D．

8．若不等式
（
）所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则实数
的一个值为（　　）

A．2 B．－1 C．－2 D．1

9．已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中
，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

10．定义空间两个向量的一种运算
，则关于空间向量上述运算的以下结论中：

①
； ②
； ③
；

④若
，则
。其中恒成立的有（　　）

A．①④ B．①③

C．②③ D．②④

11．已知椭圆C:
的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个不同的点
，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A．
B.
C.
D.

12．已知定义在
上的函数
满足：
，且
，
，则方程
在区间
上的所有实根之和为（　　）

A．-7 B．-8 C．-6 D．-5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知
中,
的对边分别为
，若a = 1, 2cosC + c = 2b,则ΔABC的周长的最大值是__________。

14．设
，函数
的导函数是
，且
是奇函数。若曲线
的一条切线的斜率是
，则切点的横坐标为 .

15、已知
,函数
在
上单调递减，则
_______．

16、以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数
，存在一个正数M，使得函数
的值域包含于区间
.

例如，当
.现有如下命题：

①设函数
的定义域为D，则“
”的充要条件是“
”；

②函数
的充要条件是
有最大值和最小值；

③若函数
，
的定义域相同，且

④若函数
有最大值，则
.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）

三、解答题：（本大题共8小题，考生作答6小题，共70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）

在△
中,内角
、
、
的对边分别是
、
、
,且
.

(Ⅰ)求
;

(Ⅱ)设
,
为△
的面积,求
的最大值,并指出此时
的值.

18．（本小题满分12分）

从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为

甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5

乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5

（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；

（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率。

19、（本小题满分12分）

如图，已知
平面
，四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求三棱锥
的体积．

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别是
，其离心率
，点P为椭圆上的一个动点，
面积的最大值为

求椭圆的方程;

若
是椭圆上不重合的四个点，
相交于点
,求
的取值范围.

21、（本小题满分12分）

设函数
（其中
为自然对数的底数，
，
），曲线
在点
处的切线方程为
．

（1）求
；

（2）若对任意
，
有且只有两个零点，求
的取值范围．

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点
,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、
两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,若
.

(1)求证:△
∽△
;

(2)求证:四边形
是平行四边形.

23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点
、
的极坐标分别为
、
，曲线
的参数方程为
为参数）．

（Ⅰ）求直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
和曲线C只有一个交点，求
的值．

24．（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式
对于任意的
恒成立

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数
的最小值．

广东省中山市华侨中学2016届高三4月高考模拟数学试卷

答案

一、选择题：（每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

D

C

D

A

D

C

A

A

D

A





二、填空题：（每小题5分，共计20分）

13. 3 14.
15. 2或3 16.①③④

三、解答题

17. 解：（1）

(2) 当
时，
的最大值为3.

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）① 由样本数据得
，可知甲、乙运动员平均水平相同；

②由样本数据得
，乙运动员比甲运动员发挥更稳定；

③甲运动员的中位数为
，乙运动员的中位数为
………………… （4分）

（Ⅱ）设甲乙成绩至少有一个高于
分为事件
,则

………………… （6分）

（Ⅲ）设甲运动员成绩为
，则
乙运动员成绩为
，

………………… （8分）

设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于
的事件为
,

则
…………… （12分）

19. 解：（1）因为四边形
为矩形，

所以
平面
，
平面
，

所以
平面
． 。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）过
作
，垂足为
，

因为
所以四边形
为矩形．

所以
，又因为
所以
，
，

所以
，所以
；

因为

平面
，
所以

平面
，所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． 。。。。。。。。。。。。。。。8分

（3）因为

平面
，所以
，

又因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
．

12分

20．解：1）由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，
的面积取最大值

此时

5分

由（1）得
，则
的坐标为（-2,0）

①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得
6分

②当直线AC斜率
，则其方程为

则点A、C的坐标是方程组
的两组解

此时直线BD的方程为

同理由
可得