广东省佛山市2016届高三教学质量检测（一）

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项:

1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数满足
,则在复平面内,
所对应的点在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知
,函数
的定义域为
,集合
,则
( )

A.
B.
C.
D.

3. 在等差数列
中,
,
,则
的前
项和
( )

A.
B.
C.
D.

4. 曲线
:
在点
处的切线方程为( )

A.
B.
C.
D.

5. 设变量
满足
,则
的最大值为( )

A.
B.
C.
D.

6. 已知
的图像向右平移
个单位后得到函数
的图像,则“函数
的图像关于点
中心对称”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数
,
,则
的值为( )

A.
B.
C.
D.

8．已知
,则
( )

A.
B.
C.
D.

9．若图1的框图所给的程序运行结果为
,那么判断框中应填入的关于
的条件是( )

A．
？ B．
？ C．
？ D．
？

10.某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是( )

A.
B.
C.
D.

11. 已知
,
分别是双曲线
:
(
)的左右两个焦点,若在双曲线
上存在点
使
,且满足
,那么双曲线
的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

12.若函数
存在正的零点,则实数
的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.从某班
位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为
,则在这
位老师中,女老师有

_______人.

14.在△
中,
、
、
的对边分别是
,且
是
的等差中项,则
的大小为_______.

15.抛物线
:
上到直线
:
距离为
的点的个数为________.

16.在等腰直角△
中,
,
,
、
为
边上两个动点,且满足
,则
的取值范围为________.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知数列
的前
项和为
,且满足
(
).

(Ⅰ) 求证:数列
为等比数列；

(Ⅱ) 若
,求
的前
项和
.

18.(本小题满分12分)

某射击爱好者想提高自己的射击水平,制订了一个训练计划,为了了解训练效果,执行训练计划前射击了
发子弹(每发满分为
环),计算出成绩中位数为
环,总成绩为
环,成绩标准差为
环,执行训练计划后也射击了
发子弹,射击成绩茎叶图如图3所示:

(Ⅰ) 请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准差；

(Ⅱ) 如果仅从已知的前后两次射击的数据分析,你认为训练计划对该射击爱好

者射击水平的提高有无帮助？为什么？

19.(本小题满分12分)

如图4,三棱柱
中,侧面

侧面
,
,
,

,
为棱
的中点,
为
的中点.

(Ⅰ) 求证:
平面
；

(Ⅱ) 若
,求三棱柱
的体积.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴，焦距为
，且长轴长是短轴长的
倍.

(Ⅰ) 求椭圆
的标准方程；

(Ⅱ) 设
,过椭圆
左焦点
的直线
交
于
、
两点,若对满足条件的任意直线
,不等式
(
)恒成立,求
的最小值.

21.(本小题满分12分)

设常数
,函数
.

(Ⅰ) 当
时,求
的最小值；

(Ⅱ) 求证：
有唯一的极值点.

请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.

22.(本小题满分10分)选修
:几何证明选讲

如图5,四边形
是圆内接四边形,
、
的延长线交于点
,且
,
.

(Ⅰ) 求证:
；

(Ⅱ) 当
,
时,求
的长.

23.(本小题满分10分)选修
:坐标系与参数方程选讲

已知直线
的方程为
,圆
的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.

(Ⅰ) 求直线
与圆
的交点的极坐标；

(Ⅱ) 若
为圆
上的动点,求
到直线
的距离
的最大值.

24.(本小题满分10分)选修
:不等式选讲

已知函数
,
,其中
.

(Ⅰ) 解不等式
；

(Ⅱ) 任意
,
恒成立,求
的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

D

C

D

B

B

D

D

C

A

A



二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.
14.
15.
16.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(Ⅰ)当
时,
,解得
；……………………1分

当
时,
,
,两式相减得
,…………………3分

化简得
,所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列.…………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
,所以
,下提供三种求和方法供参考: ………6分

[错位相减法]

…………………8分

两式相减得
…………………9分

…………………10分

,…………………11分

所以数列
的前
项和

.…………………12分

[并项求和法]

当
为偶数时,
,
；…………………9分

当
为奇数时,
为偶数,
；………………11分

综上,数列
的前
项和

.…………………12分

[裂项相消法]

因为
……………9分

所以

所以数列
的前
项和

.…………………12分

18.【解析】(Ⅰ)训练后成绩中位数为:
环, ……1分

总成绩为:
环 ……3分

平均成绩为:
环, ………… ……4分

方差为:
,……6分

标准差为:
环. ………………7分

(Ⅱ)[答案一]因为
,
,

中位数与总成绩训练前都比训练后大,而这是衡量一个人平均射击水平的主要指标,……9分

可见训练前的平均水平还比训练后的平均水平要好, ………………………………11分

故此训练计划对该射击爱好者射击水平的提高没有帮助. ………………………………12分

[答案二]尽管中位数与总成绩训练后