2015-2016学年度4月月考卷

一、选择题：

1．已知f（x）=

，则f [ f (-3)]等于

A、0 B、π C、π2 D、9

2．已知函数
，则
( )

A．-1 B．-3 C.2 D．-2

3．已知等比数列
的公比
,则
等于( )

A、
B、
C、
D、3

4．已知非零向量
不共线，且
，则以下四个向量中，模最小的为（ ）

A．
B．

C．
D．

5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量
为（ ）

A．50 B．60 C．70 D．80

6．设
，
，，
是变量x和y的n个样本点，直线
是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是

（A）x和y相关系数为直线l的斜率

（B）x和y的相关系数在0到1之间

（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

（D）直线
过点

7．数列
（ ）A．
B．—
C． 100D．—100

8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．圆
：
与圆
：
的位置关系是

A．相交 B．外切 C．内切 D．相离

二、填空题：

10．已知
是实数，若函数
在区间
上恰好有一个零点，则
的取值范围

11． 将一张坐标纸折叠一次，使点
与点
重合，且点
与点
重合，则
的值是__________.

12．已知函数f（x）=e|x|+|x|，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ．

13．已知抛物线
的焦点为
,点
，过点
且斜率为
的直线与
交于
、
两点，若
，则
等于_______．

三、解答题：

14．在数列{an}中，
，试猜想这个数列的通项公式。

15．在
中，内角
所对的边长分别为
，
，
，
．

求
和
的值．

16．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间。按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示，在其右面的表是年龄的频率分布表。

（1）求正整数a，b，N的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组中抽取的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1 人在第3组的概率。

17．（本小题满分12分）

如图(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图2)

(1)求二面角G－EF－D的大小；

(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程.

18．（本小题满分13分）已知数列
是等差数列，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
是首项为2，公比为2的等比数列，求数列
的前
项和
．

19．矩形
与矩形
的公共边为
，且平面
平面
，如图所示，
，
.

（1）证明：
平面
；

（2）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（3）若
是棱
的中点，在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？证明你的结论．

参考答案

1．B

2．D

3．B

4．A

5．C

6．D

7．D

8．A

9．B

10．
或
；

（1）
，在区间
上没有零点；

（2）
。若
，此时在区间
上恰好有一个零点，对称轴满足
，所以取
；

若
，
.若函数
在区间
上恰好有一个零点，则必有
,解得
。
时,
, 在区间
上恰好有一个零点
满足条件；

在区间
上恰好有两个零点

。不满足条件。综上：a的取值范围是

11．

解：点（0，2）与点（4，0）关于折痕对称，两点的中点坐标为（2，1），

两点确定直线的斜率为（2-0）
（0-4） =-1
2则折痕所在直线的斜率为2，所以折痕所在直线的方程为：y-1=2（x-2），

由点（0，2）与点（4，0）关于y-1=2（x-2）对称，

得到点（7，3）与点（m，n）也关于y-1=2（x-2）对称，

则（ n+3 ）
2 -1=2(m+7)
2 -2)

（n-3）
（ m-7 ）=-1
2 ，得 m=3
5 ，n=31
5

所以m+n=

故答案为：

12．（1，+∞）

试题分析：根据函数f（x）=e|x|+|x|的图象可判断y=k，与f（x）的图象的有两个不同的交点，满足的条件．

解：∵函数f（x）=e|x|+|x|，作图如下：

∵

关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，

∴y=k，与f（x）的图象的有两个不同的交点，

∴k＞1，

故答案为：（1，+∞）…

考点：函数的零点与方程根的关系．

13．

试题分析：由抛物线
的焦点为
，设直线
的方程为
，代入抛物线方程得
，设
，则
，
，
，又
，则
，得
．故本题答案为
．

考点：1、平面向量数量积；2、直线与抛物线的位置关系．

【方法点晴】本题考查平面向量数量积的运用、直线与抛物线的位置关系及其应用，属中档题．解决此类问题的常用方法为设出直线方程，然后把直线方程和抛物线方程组成方程组，消元后转化为关于
（或
）的一元二次方程，利用根与系数之间关系，结合平面向量数量积公式整体代入得关于
的一元二次方程，从而求得
的值．

14．

试题分析：解：在数列{an}中，∵

∴

∴可以猜想，这个数列的通项公式是

考点：数列的递推关系

点评：解决的关键是根据数列的递推关系来得到规律，进而猜想结论，属于基础题。

15．

试题分析：由
，可以求出
的值，并有正弦定理
可求得
，由于
则
进而可求得
，方法①由两个和的正弦公式可求得
，并再次采用正弦公式可得
，方法②由余弦定理
建立
的方程可求
.

试题解析:由
得
，由正弦定理得
，

所以

由
得

所以，
.

考点：正弦定理，余弦定理.

16．（1）
人,
人,
人；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；

（3）
．

试题分析：（1）由频率分布表和频率分布直方图知：第1组
的频率为0．1，第2组
的频率为0．1，第3组
的频率为0．4，所以
；（2）第1，2，3组的人数比为
，抽取6人，故分别抽取1人，1人，4人；（3）从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动有15种，先从第3组任抽1人有4种方法，剩下的1人从第1组或第2组抽取共2种，所以恰有1 人在第3组共8种，概率为
．

（1）
人,
人,
人；

（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；

（3）
10分

考点：概率、统计．

17．(1) 45°；(2) 点Q是线段PB的中点

(1)利用向量法求解，先建系，然后求出二面角两个面的法向量，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来解.

（2）易证PC
,因为E为PC的中点，所以当Q为PB的中点时，PC⊥平面ADQ.也可利用向量法推证.

解：(1)建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则


取n＝(1，0，1) …………4分又平面EFD的法向量为m＝ (1，0，0)∴cos ＝
…………6分∴＝45° …………7分(2)设
＝λ
(0＜λ＜1)则
＝
＋
＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ) …………9分∵AQ⊥PC (
·
＝0 ( 2×2λ－2(2－2λ)＝0( λ＝
…………11分又AD⊥PC，∴PC⊥平面ADQ ( λ＝

( 点Q是线段PB的中点. …………12分

18．（Ⅰ）
; （Ⅱ）

试题分析：（ I）利用等差数列的通项公式可得，由
整理得
即可得出；（II）利用等比数列的通项公式可知
、等差数列与等比数列的前n项和公式，采用分组求和即可求出结果．

试题解析：解：（Ⅰ）由
整理得

解得

所以
． 6分

（Ⅱ）因为数列
是首项为2，公比为2的等比数列，

所以
，所以
，

所以数列
的前
项和
． 13分

考点： 1．等差数列与等比数列；2．分组求和．

19．（1）见解析；（2）
；（3）存在，理由见解析．

试题分析：（1）先由面面垂直的性质得
平面
，从而得
，再通过证
为正方形，得
，进而使问题得证；（2）利用向量数量积的定义求得
，从而求得异面直线
与
所成角的余弦值；（3）分别取
为
及
的中点，得用中位线定理可证得平面
平面
，从而推出
为
的中点，进而使问题得证．

试题解析：（1）证明：∵矩形
与矩形
有公共边
，平面

平面
，

可得
平面
，∴
.

又
，∴
，

∴矩形
为正方形，∴
.

而
是平面
内的两条相交直线，∴
平面
.

（2）∵
，平方可得：
，

即
，

故有
，∴异面直线
与
所成角的余弦值
.

（3）分别取
为
及
的中点，得
，且
，

故平面
平面
，从而
为平面
与
的交点，易知
为
的中点，

故在线段
上存在中点