广东省佛山市2016届高三教学质量检测（一）

数学（理）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
　 C．
D．

2．已知
R，函数
的定义域为
，
，则下列结论正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．

3．已知
、
都是实数，那么“
”是“
”的（　 ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．若变量
，
满足
，则
的最大值为（　 ）

A．
　B．
　 C．
D．

5．已知
是函数
的一个极大值点，则
的一个单调递减区间是（ ）

A．
　 B．
　　　 C．
　 D．

6．已知
、
分别是双曲线
（
，
）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点
，使得
，且满足
，那么双曲线的离心率为（　 ）

A．
　 B．
　 　　 C．
　 D．

7．某学校
位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织
位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给
位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）

A．
　　 　　 B．
　　　　 C．
　　 D．

8．已知
，则
=（ ）

A．
　　 　　 B．
　　　　 C．
　　 D．

9．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（　　）

A．
　　 B．
　 C．
D．

10．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A．
　　 　　 B．
　　 　　 C．
　　 D．

11．给出下列函数：①
；②
；③
．

，使得
的函数是（ ）

A．①② 　　 　　 B．①③ 　　 　　 C．②③ 　　 D．①②③

12．设直线
与曲线
的三个交点分别为
、
、
，且
．现给出如下结论：

①
的取值范围是
；②
为定值；③
有最小值无最大值．

其中正确结论的个数为（ ）

A．
　　 B．
　 C．
D．

二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．

13．
展开式的常数项是 ．

14．已知向量
，
，
，若
为实数，
，则
的值为 ．

15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上
束，下一层
束，再下一层
束，
成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为 ．

16．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，
是
的中点，
，
，则
面积的最大值为 ．

三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且满足
（
N
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

未来制造业对零件的精度要求越来越高．
D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间．某制造企业向
高校
D打印实验团队租用一台
D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取
件零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：
）

（1）计算平均值
与标准差
；

（2）假设这台
D打印设备打印出品的零件内径

服从正态分布
，该团队到工厂安装调试后，

试打了
个零件，度量其内径分别为（单位：
）：
、
、
、
、
，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？

参考数据：
，

，
，
，
．

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，侧面
侧面
，
，

，
，
为棱

的中点，
在棱
上，

面
．

（1）求证：
为
的中点；

（2）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
（
）的一个顶点为
，且焦距为
，直线
交椭圆
于
、
两点（点
、
与点
不重合），且满足
．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）
为坐标原点，若点
满足
，求直线
的斜率的取值范围．

21．（本小题满分12分）

设常数
，
，
．

（1）当
时，若
的最小值为
，求
的值；

（2）对于任意给定的正实数
、
，证明：存在实数
，当
时，
．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．

22．（本小题满分10分）

选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形
是圆内接四边形，
、
的延长线交于点
，且
，
．

（1）求证：
；

（2）当
，
时，求
的长．

23．（本小题满分10分）

选修4—4：坐标系与参数方程选讲

已知直线
的方程为
，圆
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求直线
与圆
的交点的极坐标；

（2）若
为圆
上的动点，求
到直线
的距离
的最大值．

24．（本小题满分10分）

选修4—5：不等式选讲

已知函数
，
，
R．

（1）解不等式
；

（2）任意
R，
恒成立，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

D

B

A

C

D

D

C

B

C



二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.
14.
15.
16.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(Ⅰ)当
时,
,解得
；……………………1分

当
时,
,
,两式相减得
,…………………3分

化简得
,所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列.

所以
.…………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
,所以
,………6分

[错位相减法]

…………………8分

两式相减得
…………………9分

,…………………11分

所以数列
的前
项和
.…………………12分

[裂项相消法]

因为
……………9分

所以


…………………12分

18.【解析】(Ⅰ)

…………3分

……5分

所以

……6分

(Ⅱ)结论:需要进一步调试. ……………………8分

[方法1]理由如下:如果机器正常工作,则
服从正态分布
,……………………9分

零件内径在
之外的概率只有
,……………………………………11分

而
,根据
原则,知机器异常,需要进一步调试. …………………………12分

[方法2]理由如下:如果机器正常工作,则
服从正态分布
, ……9分

正常情况下
个零件中恰有一件内径在
外的概率为:

, ……11分

为小概率事件,而
,小概率事件发生,说明机器异常,需要进一步调试. ……12分

[方法3]理由如下:如果机器正常工作,则
服从正态分布
, ……9分

正常情况下
件零件中恰有
件内径在
外的概率为:

,…11分

此为小概率事件,而