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2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知复数
，其中
为虚数单位，则复数
的共轭复数
所对应的点在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出
的值为

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

（4）如果函数

的相邻两个零点之间的距离为
，则
的值为

（A）3 （B）6 （C）12 （D）24

（5）设等差数列
的前
项和为
，且
，则

（A）52 （B）78 （C）104 （D）208

（6）如果
，
，…，
是抛物线
：
上的点，它们的横坐标依次为
，
，…，
，
是抛物线
的焦点，若
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）在梯形
中，
，已知
，
，若

，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）设实数
，
满足约束条件
则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为
，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）已知下列四个命题：

：若直线
和平面
内的无数条直线垂直，则
；

：若
，则
，
；

：若
，则
，
；

：在△
中，若
，则
．

其中真命题的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是

某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为

（A）
（B）

（C）
（D）

（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．

1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016

3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031

8 12 16 ………………… 8056 8060

20 28 ………………………… 16116

…………………………………………

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．

（14）已知双曲线
：

的左顶点为
，右焦点为
，点
，且
，则双曲线
的离心率为 ．

（15）
的展开式中，
的系数为 ． （用数字填写答案）

（16）已知函数
则函数
的零点个数为 个．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

如图，在△
中，点
在边
上，
，

，
,
.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求△
的面积．

（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间
，
，
内的频率之比为
．

（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间

内的频率；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的

这种产品中随机抽取3件，记这3件产

品中质量指标值位于区间
内的产

品件数为
，求
的分布列与数学期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱柱
的底面
是菱形，
，
底面
，
．

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，左顶点为
，左焦点为
，点
在椭圆
上，直线
与椭圆
交于
，
两点，直线
，
分别与
轴交于点
，
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）以
为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
,
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线斜率为
，求实数
的值；

（Ⅱ）当
时，证明：
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，△
内接于⊙
，直线
与⊙
相切于点
，交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若直线
与⊙
相切于点
，且
，
，

求线段
的长．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，
.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点
，使它到直线
：
（
为参数，
）的距离最短，并求出点
的直角坐标.

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若对任意
，不等式
的解集为空集，求实数
的取值范围．

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2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

理科数学试题答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一．选择题

（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A

（7）A （8）A （9）D （10）B （11）A （12）B

二．填空题

（13）
（14）
（15）
（16）

三．解答题

（17）(Ⅰ) 解法一： 在△
中，因为
，设

，则
．

在△
中，因为
，
，
，

所以

．………………………………………………………2分

在△
中，因为
，
，
，

由余弦定理得
． ………4分

因为
，

所以
，

即
．………………………………………………………5分

解得
．

所以
的长为
. …………………………………………………………………6分

解法二： 在△
中，因为
，设

，则
．

在△
中，因为
，
，
，

所以
．

所以
．……………………………………………2分

在△
中，因为
，
，
，

由余弦定理得
．…………4分

所以

．………………………………………………5分

解得
．

所以
的长为
. …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得
，

．………………8分

所以
，从而
．…………………………10分

所以

．……………………………………………12分

解法二：由（Ⅰ）求得
，

．………………8分

因为
，所以△
为等腰三角形．

因为