2016年深圳市高三年级第一次调研考试

数学（理科） 2016.2.25

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
　 C．
D．

2．设
为虚数单位，复数
满足
，则
在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限　 C．第三象限 D．第四象限

3．已知平面向量
、
满足
，
，
与
的夹角为
，且
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
　 C．
D．

4．若
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
　 C．
D．

5．公差为
的等差数列
中，
成等比数列，则
的前
项和为（ ）

A．
B．
　 C．
D．

6．若函数
的图像过点
，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ）

A．
B．
　 C．
D．

7．
的展开式中常数项为（ ）

A．
B．
　 C．
D．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，

则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）

A．
B．
　 C．
D．

9．
名同学参加
项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中

的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ）

A．
B．
　 C．
D．

10．点
、
、
、
在半径为
的同一球面上，点
到平面
的距离为
，
，

则点
与
中心的距离为（ ）

A．
B．
　 C．
D．

11．过点
的直线
与双曲线
的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线
的右支上的点到直线
的距离恒大于
，则双曲线
的离心率为取值范围是（ ）

A．
B．
　 C．
D．

12．函数
有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
　 C．
D．

二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分

13．已知
，
分别是定义域为
的奇函数和偶函数，且
，则
的值为______

14．公元
年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无

限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利

用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值
，这

就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程

序框图，则输出的值为_______

（参考数据：
，
）

15．过抛物线
的焦点
，且倾斜角为
的直线与抛物线

交于
两点，若弦
的垂直平分线经过点
，则
等于_______

16．数列
满足
，若
为等比数列，则
的取值范围是_______

三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

如图，在
中，
，
是
上一点，
，
，

（1）求
的值；（2）求
的值和边
的长

18．（本小题满分12分）

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位
（单位：米）的频率分布直方图如下：

将河流水位在以上
段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响

（1）求未来三年，至多有
年河流水位
的概率（结果用分数表示）；

（2）该河流对沿河
企业影响如下：当
时，不会造成影响；当
时，损失
元；当
时，损失
元，为减少损失，现有种应对方案：

方案一：防御
米的最高水位，需要工程费用
元；

方案二：防御不超过
米的水位，需要工程费用
元；

方案三：不采取措施；

试比较哪种方案较好，并请说理由

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
，
，

（1）求证：平面
平面
；（2）若
，求二面角
的余弦值

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，直线
与椭圆
仅有一个公共点

（1）求椭圆
的方程；

（2）直线
被圆
截得的弦长为
，且与椭圆
交于
两点，求
面积的最大值

21．（本小题满分12分）

已知函数
和函数
（
为自然对数的底数）

（1）求函数
的单调区间；

（2）判断函数
的极值点的个数，并说明理由；

（3）若函数
存在极值为
，求
的值

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在直角
中，
，
为
边上异于
的一点，以
为直径作圆
，并分别交
于点

（1）证明：
四点共圆；（2）若
为
的中点，且
，
，求
的长

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在平面直角坐标系
中，已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
（
）

（1）写出直线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
两点，求
的值

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
（
）

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若函数
的最小值为
，求
的值