宝安区2016高考数学（理科）考前冲刺预测题

一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分在每小题给山的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．给出如下四个命题：

①若“
且
”为假命题，则
、
均为假命题；

②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

③“
”的否定是“
”；

④在△
中，“
”是“
”的充要条件.其中不正确的命题的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3. 点
在直线
上，若存在过
的直线交抛物线
于
两点，且
，则称点
为“正点”，那么下列结论中正确的是 （ ）

A．直线
上的所有点都是“正点”

B．直线
上仅有有限个点是“正点”

C．直线
上的所有点都不是“正点”

D．直线
上有无穷多个点（点不是所有的点）是“正点”

4. 已知直线
⊥平面α，直线
平面β，给出下列命题：

①α∥β
l⊥m ②α⊥β
l∥m ③l∥m
α⊥β

④l⊥m
α∥β

其中正确命题的序号是 （ ）

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④

5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）

A.2010

B.-1

C.

D.2

6. 将函数f(x)=2sin
的图象向左平移
个单位，得到函数y=g(x)的图象．若y=g(x)在[
]上为增函数，则
的最大值 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7. 如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，

设
为 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．符号
表示不超过
的最大整数,例如
,
,定义函数
,给出下列四个命题(1)函数
的定义域为
,值域为
;(2)方程
有无数个解;(3)函数
是周期函数;(4)函数
是增函数.其中正确命题的序号有( )

A.(2)(3) B.(1)(4) C.(3)(4) D.(2)(4) .

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

9. 已知函数
满足：x≥4,则
＝
；当x＜4时
＝
，则
＝ .

10． 当
，不等式
成立，则实数
的取值范围是_______________.

11. 设
满足
，若目标函数
的最大值为14，则
______.

12．从四棱锥S—ABCD的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为 .

13.下列给出的四个命题中：

①已知数列{an}，那么对任意的n∈N.，点Pn(n，an)都在直线y=2x+l上是{an}为等差数列的充分不必要条件；

②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；

③设圆x2+y2+Dx+Ey+f=0与坐标轴有4个交点，分别为A(xl，0)，B(x2，0)，C(0，y1)．D(0，
)，则xl x2-y1y2=0；

④在实数数列{an}中，已知al=0，| a2 |=| a1-l|，|a3 |=| a2-l|，…，| an |=| an-1-1|，则al+a2+a3+a4的最大值为2．

其中为真命题的是 (写出所有真命题的代号).

选做题

14. 在极坐标系中，直线
的方程为
，则点
到直线
的距离为____ ．

15. 如图所示，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的直径，若DA＝2，＝，则AB＝________.

三、解答题（共6个小题，共80分）

16、（本小题满分12分）

设函数f(x)=cos2(x＋sin(xcos(x＋a

(其中
＞0,a
R),

且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

（1）求ω的值；（2）如果f(x)在区间[―，]上的最小值为，求a的值;

（3）证明：直线5x―2y＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

17．（本小题满分12分）.

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T（单位：年）有关，若T
1，则销售利润为0元；若13,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T
1，13这三种情况发生的概率分别为
，又知
为方程25x
-15x+a=0的两根,且
.

(Ⅰ)求
的值;

（Ⅱ）记
表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求
的分布列及数学期望.

18．（本小题满分14分）

如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在圆柱
的底面圆周上，
是
的中点，圆柱
的底面圆的半径
，侧面积为
，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的平面角的余弦值．

19．(本小题满分14分)

若椭圆
:
和椭圆
:
满足
,则称这两个椭圆相似，
是相似比.

(Ⅰ)求过(
且与椭圆
相似的椭圆的方程；

(Ⅱ)设过原点的一条射线
分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、Ｂ两点（点Ａ在线段OB上）.

①若P是线段AB上的一点，若|OA|、｜ＯP｜、｜ＯB｜成等比数列，求Ｐ点的轨迹方程; ②求
的最大值和最小值.

20．(本小题满分14分)

设函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；.

（Ⅲ）当
时，对任意的正整数
，在区间
上总有
个数使得

成立，试问：正整数
是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

21. (本小题满分14分)

已知数列
中，
，对于任意的
，有

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
满足：
……
，

求数列
的通项公式；

（3）设
，是否存在实数
，当
时，
恒成立，若存在，求实数
的取值范围，若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分在每小题给山的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．A

解析：由题
，所以在复平面上对应的点位于第一象限。

2．C.

解析：②④正确.

3. A

解析：本题采作数形结合法易于求解，如图，

设
，

则
，.

∵
，

∴

消去n,整理得关于x的方程
（1）

∵
恒成立，

∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

【答案】A

4. C

解析：α∥β
直线
⊥平面β，由于直线

平面β ∴ l⊥m 故①正确；由l∥m，直线
⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线

平面β ∴α⊥β故③正确。

7.D

解析：由题可知执行如图的程序框图可知
所以当
时
，当
时输出
，故选D。

6. B

解析：将函数f(x)=2sin
的图象向左平移
个单位，得到函数

y=g(x)=2
。 ∵y=g(x)在[
]上为增函数

∴
∴
。.

7. A

解析：
，

同理向量
还可以表示为
，对应相等可得
，所以
，故选A。

8．A

解析：如值域中没有1，故该函数值域应该为
，故(1)错；如
，不具有增减性，故(4)错。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

9. 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4

∴
＝f(3＋log23)

＝

10．答案 k≤1 .

解析 作出
与
的图象，要使不等式
成立，由图可知须k≤1

11. 2

解析：由
所确定的可行域，确定使目标函数
达到最大值14的最优解，代入
，可得
2.

12. 解析：在八条棱中任取其中的两条，其中是异面直线的为
，所以抽到两条棱成异面直线的概率为
。

13.①③④

14.

15. 　4

三、 解答题（共6个小题，共74分）

16、解：（1） f(x)=×＋sin2(x＋a=sin2(x＋cos2(x＋＋a

=sin(2(x＋)＋＋a .

由题意知，2(×＋=，∴ (=1

（2）由（1）知，f(x)=sin(2x＋)＋＋a ∵ ―≤x≤ ∴ 0≤2x＋≤

∴ ―≤sin(2x＋)≤1 ∴ f(x)的最小值=―＋＋a= ∴ a=

（3）∵ f( (x)=2cos(2x＋) ∴ |f( (x)|≤2

∴ 曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围是[―2,2],

而直线的切线斜率=>2, ∴直线5x―2y＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

17．解：(Ⅰ)由已知得
解得:
=
,
=
,
=
.

（Ⅱ）
的可能取值为0，100，200，300，400.

P(
=0)=


=

P(
=100)= 2



=

P(
=200)= 2



+


=

P(
=300)= 2



=

P(
=400)=


=

随机变量
的分布列为

0

100

200

300

400



p













所求的数学期望为E
=0

+100

+200

+300

+400

=240(元)

所以随机变量
的数学期望为240元. .

18．解: （1）(解法一)：由题意可知
，解得
，

在
中，
， ∴
，

又 ∵
是
的中点，∴
.　　　　①

∵
为圆
的直径，∴
.

由已知知
，∴
，∴
.

∴
. ②

∴ 由①②可知：
，

∴
.

（2） 由（1）知：
， ∴
，
，

∴
是二面角
的平面角 .

,
,
.

∴
.
.

(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知
.解得
.

则
，
，
，
，

∵
是
的中点，∴ 可求得
. .

（1）
，
，∴
.

∵
，∴
.

（2）由（1）知,
，
，

，
.

∵
，
∴
是平面
的法向量.

设
是平面
的法向量，

由
，
，解得
.
. .

所以二面角
的平面角的余弦值
.

19．解:(Ⅰ)设与
相似的椭圆的方程
.

则有
解得
,所求方程是
.

(Ⅱ) ① 当射线
的斜率不存在时
,

设点P坐标P(0,
,则
,
.即P(0,
).

当射线
的斜率存在时，设其方程
,P(

由
,
则
　得

同理
.

又点P在
上，则
，且由
,

即所求方程是
.

又
(0,
)适合方程,故所求椭圆的方程是
.

②由①可知,当
的斜率不存在时，

,

当
的斜率存在时,

, .

∴

综上
的最大值是8,最小值是4.

20．解:(I)函数
的定义域为
.　　

当
时，
，∴
.

由
得
.

，
随
变化如下表:











减

0

增





-

极小值

+



由上表可知，
，没有极大值.

（II）由题意，
.　　

令
得
，
.　　　.

若
，由
得
；由
得
.　

若
，

①当
时，
，
或
，
；
，
.

②当
时，
.

③当
时，
，
或
，
；
，
.

综上，当
时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调减区间是
,

当
时，函数的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
.

(Ⅲ) 当
时，
，
. .

∵
，∴
.　　

∴
，
.　

由题意，
恒成立.

令
，且
在
上单调递增，

，因此
，而
是正整数，故
，

所以
时，存在
，
时，对所有
满足题意.

∴
.　

21 解：（1）取
，则
　∴
（
）

∴
是公差为
，首项为
的等差数列 ∴
　　　 …………4分

（2）∵
①

∴
　②

①-②得：
∴
…………6分

当
时，
　∴
，满足上式 ∴
…………8分

（3）
　假设存在
，使

．

．
．　　

当
为正偶函数时，
恒成立，
.

∴
．∴
…………11分

当
为正奇数时，
恒成立．∴

∴
．∴
．

综上可知，存在实数
．使
时，
恒成立． …………14分

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