松昌中学2016届高三级第五次统测文科数学试卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集为R, 函数
的定义域为
, 则
为

A．
B．
C．
D．

2．已知
，
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则

A．
B．
C．
D．

3．已知
，
，且
，则向量
与
夹角的大小为

A．
B．
C．
D．

4．已知
，
，
，
是空间四点，命题甲：
，
，
，
四点不共面，命题乙：直线
和
不相交，则甲是乙成立的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知
在
上是奇函数,且满足
,

当
时,
，则

A．
B．
C．
D．

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A．
B．

C．
D．

7．在空间直角坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，线段

AB的中点为M，则|CM|＝(　　)

A.  B.  C. D. 

8．在数列
中，已知
，则
等于

A．
B．
C．
D．

9．已知
，且
，函数
的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

10．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入
（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9



支出
（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8



根据上表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

11．由直线
上的一点向圆
引切线，则切线长的最小值为

A．
B．
C．
D．

12．已知
，若函数
只有一个零点，则k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．设等差数列
的前n项和为
，且
，则
*** .

14. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边

长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条

半径，则这个几何体的体积为 *** ．

15．已知函数
在点
处的切线恰好与

直线
平行，则
*** .

16．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），

若目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则实

数
值是 *** ．

三、解答题：本大题共7小题，考生作答6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
分别是
内角
的对边，若
.

（1）求
的值;

（2）若
，
,求
的面积.

18．（本小题满分12分）

为了解某市高三学生身高（单位：cm）情况，对全市高三学生随机抽取1000 人进行了测量，经统计，得到如下的频率分布直方图（其中身高的分组区间分别为[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]

（1）求
的值；

（2）在所抽取的1000 人中，用分层

抽样的方法在身高[170,190]中抽取一个

容量为4 的样本，将该样本看作一个总体，

从中任意抽取2 人，求这两人的身高恰好

落在区间[170,180）的概率；

（3）若该市高三有20000 人，根据

此次测量统计结果，估算身高在区间

[160,180）的人数.

19．（本小题满分12分）

在直三棱柱
中，
，

，
是
的中点，
是
上一点．

（1）当
时，证明：
⊥平面
；

（2）若
，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，点
，直线
：
，设圆
的半径为1，

圆心在
上．

(1)若圆心
也在直线y＝x－1上，过点A作圆
的切线，求切线的方程；

(2)若圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐标
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数

在
处取到极值2.

（1）求
的解析式；

（2）设函数
，若对任意的
，总存在
（
为自然对数的底数），使得
，求实数
的取值范围.

第22、23题为选做题，考生只能选做一题.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
切线,
是切点, 割线

是圆
的直径，

交
于
，
，
,
.

（1）求线段
的长；

（2）求证：
.

23．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系
中，已知曲线
：
（
为参数）

与曲线
：
(
为参数，
)．

（1）若曲线
与曲线
有一个公共点在x轴上，求
的值；

（2）当
时, 曲线
与曲线
交于
，
两点，求
，
两点的距离．

松昌中学2016届高三级第五次统测文科数学

参考答案与评分标准

选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

B

B

C

D

A

B

C

D



8、解析：设数列
的前n项和为
，由已知，有
，

则当
时，
；当
时，
；

所以，
，
；

所以，
=
.选D.

9、解析：由已知得，
，则
.

所以，
=
.选A.

10、

11、解析：过圆心向直线引垂线，则自垂足引圆的切线时的切线长最短；

，切线长为
.选C.

12、解析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点．

直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．

当 0＜x＜1时，f′（x）=
＞1，

当x≥1时，f′（x）=﹣
∈[﹣1，0），

如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．
14.
15.
16.

15、解析：由已知条件得
=3mx2+2nx，

由
=﹣3，∴3m﹣2n=﹣3．

又f（﹣1）=2，∴﹣m+n=2，

∴m=1，n=3 ∴mn=3．

16、解析：要使最优解有无数个值，则
应与三角形区域的边界所在直线平行，

则
，得
，

经检验知，只有
能使目标函数取得最小值的最优解有无数多个.

三、解答题：本大题共7小题，考生作答6小题，满分70分．

17．（本小题满分12分）

解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，
………………………………2分

于是
………………………………………………………………3分

(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
……………… ……6分

由于
，所以
…………………… ……8分

所以
………………………………………… ……10分

…………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：因为
，
是
的中点，

所以
⊥
. ……1分

在直三棱柱
中，

因为
⊥底面
，

底面
，

所以
⊥
. ……2分

因为
∩
＝
，

所以
⊥平面
. ……3分

因为

平面
，

所以
⊥
. ……4分

在矩形
中，因为
，
，

所以
≌
.

所以∠
＝∠
.所以∠
.

（或通过计算
,
,得到△
为直角三角形）

所以
. ……5分

因为
∩
＝
，

所以
⊥平面
. ……6分

（2）解：因为
，

，

因为
是
的中点，所以
. ……7分

在
△
中，
，
，

所以
. ……8分

因为
，

所以
∽
．

所以
.

所以
． ……10分

所以
.……12分

20．（本小题满分12分）

解：(1)由得圆心C为(3,2)． ……1分

∵圆C的半径为1，

∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. ……2分

显然切线的斜率一定存在．

设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0. ……3分

∴＝1.∴|3k＋1|＝. ……4分

∴2k(4k＋3)＝0.解得k＝0或k＝－. ……5分

∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3. ……6分

(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，

故可设圆心C为(a,2a－4)，

则圆C的方程为
. ……7分

又∵
，设M为(x，y)，

则