广西2016届普通高中毕业班适应性测试

数学试卷（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）

1.已知集合
，集合
，若
的元素的个数为6，则
等于（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

2.设
为虚数单位，
，则
等于（ ）

A．5 B．10 C．25 D．50

3.设奇函数f（x）满足
，则f（-2）的值为（）

A. -4 B. -2 C. 4 D. 2

4.若
，则
等于（ ）

A．
B．
C．-4 D．4

5.已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.若函数
的图象关于直线
对称，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.若
满足约束条件
且目标函数
的最大值为10，则
等于（ ）

A．-3 B．-10 C．4 D．10

8.若正整数
除以正整数
后的余数为
，则记为
，例如
．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的
等于（ ）

A．17 B．16 C．15 D．13

9.一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（ ）

A．20 B．28 C．20或32 D．20或28

10.某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：

支持新教材

支持旧教材

合计



教龄在10年以上的教师

12

34

46



教龄在10年以下的教师

22

23

45



合计

34

57

91



附表：

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828



给出相关公式及数据：
，其中
，

，

参照附表，下列结论中正确的是（ ）

A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新材有关”

B．在犯错误的概率不超过0.050的前提下，认为“教龄的长短与支持新材有关”

C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新材有关”

D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”

11.长方体
的8个顶点都在球
的表面上，
为
的中点，
，且四边形
为正方形，则球
的直径为（ ）

A．4 B．
C．4或
D．4或5

12.函数
在
上递减，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）

13.设函数
，则
________．

14.设向量
，其中
，则
的最小值为________．

15.在
中，
，且
的面积为
，则
的周长为________．

16.设
，点
为抛物线
上一点，
为焦点，以
为圆心
为半径的圆
被
轴截得的弦长为6，则圆
的标准方程为________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：

人数











14

40

10







36







28

8

34



若抽取学生
人，成绩分为
（优秀）、
（良好）、
（及格）三个等级，设
分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为
等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为
等级且地理成绩为
等级的有8人．已知
与
均为
等级的概率是0.07．

（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求
的值；

（2）已知
，求数学成绩为
等级的人数比
等级的人数多的概率．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，平面
平面
，
，四边形
是高为
的等腰梯形，
，
为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求
到平面
的距离．

20.如图，椭圆
的左、右顶点分别为
，焦距为
，直线
与
交于点
，且
，过点
作直线
交直线
于点
，交椭圆于另一点
．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：
为定值．

21.（本小题满分12分）

设
，函数
．（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；（2）若
对
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

如图，从圆
外一点
引圆的切线
及割线
，
为切点，
，垂足为
．

（1）求证：
；

（2）若
依次成公差为1的等差数列，且
，求
的长．

23.（本小题满分10分）

已知直线
的参数方程为
（
为参数），在直角坐标系中，以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的方程为
．

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）点
分别为直线
与曲线
上的动点，求
的取值范围．

24.（本小题满分10分）

设函数
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）若
的解集为
，
，求证：
．

参考答案

D ∵
的元素的个数为6，∴这6个元素为3，4，5，6，7，8，从而
．

C ∵
，∴
，∴
．

D ∵
为奇函数，∴
，∴
，∴
．

6.B 由题可得，
，∴
，∵
是，∴
．

7．C 作出可行域可知，当直线
过点
时，
取得最大值为
，∴
．

8．A 当
时，被3除余2，被5除也余2的最小整数
．

9．D 由图可知，梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4，所以体积为20或28．　

10．B ∵
的观测值为
，

∴在犯错误的概率不超过0.050的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”．

11．C 设
，则
，

由余弦定理，得
，

∴
，∴
或6，∴
．

设球
的半径为
，则
．

12．A 设
，∵
在
上递增，∴根据复合函数的单调性可知，
在
递减，且
对
恒成立．

∴
对
恒成立且
，

∴
对
恒成立，且
，∴
．

13． 0
．

14．
　　
．

15． 18 由正弦定理及
得
，

设
，∴由余弦定理得
，

∴
，∴
，∴
．

16．
由点
到
轴的距离为4，及圆
被
轴截得的弦长为6得
，则
，∴
，∴
，∴圆
的标准方程为
．

17．解：（1）设数列
的公差为
，∵
，∴
，．．．．．．．．3分

∴
，∴
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（2）
．．．．．．．．12分

18．解：（1）
，∴
，故
，

而
，∴
．　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）
且
．由
得
．

的所有结果为
共17组，其中
的共8 组，则所求概率为：
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．（1）证明：因为
等边三角形，
为
的中点，所以
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又因为平面
平面
平面
，平面
平面
，

所以
平面
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．