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广西柳州市2016届高中毕业班4月份模拟试卷

理科数学

(考试时间 120分钟 满分150分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

（1）已知集合
,则
=

A.
B.
C.
D.

（2）已知
，则复数
在复平面上所对应的点位于

A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限

（3）已知向量
且
，则

A.1 B.3 C.4 D.5

（4）已知命题
；命题
，则下列命题为真命题的是

A.
B.
C.
D.

（5）设双曲线
的右焦点为
,点
到渐近线的距离为
,则该双曲线的离心率等于

A.
B.
C.
D.3

（6）已知函数
的部分图像如图所

示，
，则正确的选项是

A.
B.

C.
D.

（7）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为

A.
B.
C.
D. 2

（8）在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面

积小于
的概率为

A.
B.
C.
D.

（9）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是

A.

B.

C.

D.

（10）如图所示，直四棱柱
内接于半径为
的半球O，

四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的取值范围是

A.
B.
C.
D. 2

（11）已知函数
为
上的单调区间，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

（12）在
中，角
所对的边分别为
已知
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

（13）若
满足约束条件
则目标函数
的最小值是 .

（14）
的展开式中含
项的系数为 .

（15）已知正实数
满足
，若
恒成立，则实数
的最大值是 .

（16）过抛物线
焦点
的直线与抛物线交于
两点，作
垂直抛物线的准线
于
其中
为坐标原点，则下列结论正确的是 .（填序号）

①
;

②存在
,使得
成立；

③
;

④准线
上任意一点M，都使得
.

三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，满足

（Ⅰ）证明：
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和为
.

（18）（本小题满分12分）如图，正四棱锥
中，底面
的边长为4，
为
的中点，

（Ⅰ）求证：平面

平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.

（19）（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：

年份

2011

2012

2013

2014

2015



居民生活用水量（万吨）

236

246

257

276

286



（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程
；

（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量.

参考公式：

（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，动点M到点F（1,0）的距离与它到直线
的距离之比为
.

（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线E交于A,B两点，与
轴、
轴分别交于C,D两点（且C,D在A,B之间或同时在A,B之外）.问：是否存在定值
，对于满足条件的任意实数
，都有
的面积与
的面积相等，若存在，求
的值；若不存在，说明理由.

（21）（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的零点个数；

（Ⅱ）当
时，求证：函数
有且只有一个极值点；

（Ⅲ）当
时，总有
成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）

如图，AB为
的直径，过点B作
的切线BC，OC交
于

点E，AE的延长线交BC于点D.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若
,求CE与CD的长.

（23）（本小题满分10分）

在直角坐标系
中，圆
和
的参数方程分别是
（
为参数）和

（
为参数），以O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆
和
的极坐标方程；

（Ⅱ）射线
与圆
的交点为
,与圆
的交点为
，求
的最大值.

（24）（本小题满分10分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）不等式
恒成立时，实数
的取值范围是
，求实数
的集合.



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