桂林市、北海市、崇左市2016年3月联合调研考试

数学文科试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
则
（ ）

A．
B．2 C．
D．1

5．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知如图所示的程序框图，那么输出的
（ ）

A．45 B．35 C．21 D．15

9．函数
的零点所在的区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知向量
与
的夹角为
，且
，
，若
，且
，则实数
的值为（ ）

A．
B．13 C．6 D．

11．设点
是双曲线
与圆
在第一象限的交点，
分别是双曲线的左、右焦点，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，当
（
为自然常数），函数
的最小值为3，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考试根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若函数
为奇函数，则
______．

14．已知实数
满足不等式组
则
的最小值为______．

15．若圆
以抛物线
的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是______．

16．已知四棱锥
的顶点都在球
上，底面
是矩形，平面
平面
，
为正三角形，
，则球
的表面为______．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，内角
、
、
对应的边长分别为
、
、
，已知
．

（1）求角
；

（2）求
的最大值．

18．（本小题满分12分）

某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段
，
，
，
，
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的20位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；

（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生参加社区服务时间在同一时间段内的概率．

19．（本小题满分12分）

在如图所示的多面体
中，
平面
，
平面
，
，
，
．

（1）在线段
上取一点
，作
平面
，（只需指出
的位置，不需证明）；

（2）对（1）中
，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

如图，已知
为原点，圆
与
轴相切于点
，与
轴正半轴相交于两点
（点
在点
的右侧），且
；椭圆
过点
，且焦距等于
．

（1）求圆
和椭圆
的方程；

（2）若过点
斜率不为零的直线
与椭圆
交于
、
两点，求证：直线
与直线
的倾角互补．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

（2）当
且
时，不等式
在
上恒成立，求
的最大值．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
是
的内接四边形，延长
和
相交于点
，
，
．

（1）求
的值；

（2）若
为
的直径，且
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）．

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集为
．

（1）求
；

（2）当
时，证明：
．

桂林市、北海市、崇左市2016年3月联合调研考试

数学文科试卷参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

A

A

C

D

D

D

B

D

A

B



二、填空题

13．
14．
15．
16．

三、解答题

17．解：（1）∵
，由余弦定理得

∵
，∴
． ………………6分

（2）
………………7分

； ………………9分

∵
，∴
，
． ………………11分

∴
的最大值为
． ………………12分

18．解：（1）由题意可知，

参加社区服务在时间段
的学生人数为
（人）； ………………1分

参加社区服务在时间段
的学生人数为
（人）． ………………2分

所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
人． ……………4分

（2）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件
，由（1）可知，

参加社区服务在时间段
的学生有6人，记为
；

参加社区服务在时间段
的学生有2人，记为
， ……………6分

从这8人中任意选取2人有
，
，
，
，
，
共28种情况． ……………8分

其中事件
包括
共16种情况．……l0分

∴所选学生的服务时间在同一时间段内的概率
． ………………12分

19．解：（1）取
的中点
， ………………2分

连接
，
平面
（如图）． ………………4分

（注：①作
交
于
，作
交
于
连
，亦可满分．②按①作法，保留作图痕迹未作说明也得满分．）

（2）∵
，∴
．

∴
， ………………5分

∵
平面
，∴
． ………………6分

∵
，∴
平面
． ………………7分

∵
平面
，
平面
，∴
． ………………8分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
． ………………9分

∴
到平面
的距离为
． ………………10分

又
， ………………11分

∴
． ………………12分

20．解：（1）设圆的半径为
，由题意，圆心为
，

∵
，∴
，
． ………………1分

故圆的方程为
． ………………2分

令
，解得
或
，所以
． ………………3分

由
得