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数学试卷（理科）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集
，集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）设复数
满足
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）等差数列
中，
，则公差

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）若函数
为奇函数，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，甲被选中的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）已知
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知如图所示的程序框图，那么输出的

（A）45 （B）35 （C）21 （D）15

（9）已知四棱锥
的顶点都在球
上，底面
是矩形，平面
为正三角形，
,则球
的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知向量
的夹角为
，且
,若
，则实数
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）设点
是双曲线
与圆
在第一象限的交点，
分别是双曲线的左、右焦点，且
，则双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知函数
对定义域
内的任意
都有
，且当
时，导函数
满足
。若
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

填空题：本大题共4小题，每小题5分。

的展开式中常数项为 。

已知实数
满足不等式组
则
的最小值为 。

已知
为正实数，向量
，若
∥
，则
的最小值为 。

若数列
满足
，则数列
的通项公式是 。

解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本小题满分12分）

在
中，内角
对应的边长分别为a、b、c，已知
。

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围。

（本小题满分12分）

某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务。教育部门在诠释随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段

（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示。

（Ⅰ）求抽取的200名学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中人员选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；

（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记
为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数。试求随机变量
的分布列和数学期望
。

（本小题满分12分）

在如图所示的多面体
中，
,

.

（Ⅰ）在线段
上取一点
，作
∥
（只需指出
的位置，不需证明）；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中
，求直线
与平面
所成角的正弦值。

（本小题满分12分）

已知圆
，若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若存在直线
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
分别交于
两点，点
在线段
上，且
,求圆
的半径
的取值范围。

（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）设
，若函数
在定义域内存在两个零点，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
是⊙
的内接四边形，延长
和
相交于点
，
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
为⊙
的直径，且
，求
的长。

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
。

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
两点，且
，求直线的倾斜角
的值。

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集为
。

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）当
时，证明：
。

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