南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（01）

高三数学（理）

选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.

1.已知复数
满足
(其中
是虚数单位,满足
),则复数
的共轭复数在复平面中对应的点在第几象限（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.要得到函数
的图象，只需要将函数
的图象（ ）

A 向左平移
个单位?? B 向右平移
个单位 C 向左平移
个单位??? D 向右平移
个单位

3.设
，则“
”是“
”的( )

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件
为“x +y为偶数”， 事件
为“
”，则概率
（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 如果双曲线
的一条渐近线与直线
平行，则双曲线的离心率为（　　）

　 A．
B．
C． 2 D． 3

6. 将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　 　)

A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直

7.已知向量
的夹角为钝角，则函数
的最小值为（ ）

A. 2013 B. 2014 C. 2015 D.2016

8.已知函数
（
，
，
均为正的常数）的最小正周期为
，当
时，函数
取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A
B

C
D

9.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）

A．1 B．
C．
D．2

10.
的展开式中，
的系数为( ) A 15 B 25 C 30 D 50

11.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=600,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为
，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π

12. 已知函数f(x)=|log2x|-m(m>0)的零点分别为x1,x2(x1

A.4
B.8
C.4
D.8

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数
（
为常数）。若
在区间
上是增函数，则
的取值范围是 。

14.已知抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，P是Γ的准线上一点，Q是直线PF与Γ的一个交点．若
,则直线PF的方程为　 　．

15.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=
, A+C=2B,则sinC= .

16.设
满足约束条件
，若
的最大值是12，则
的最小值是

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知
是锐角，且tan
=
，数列
,数列
的首项
，（1）求数列
的通项公式；（2）求数列
的前n项和

18. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B；

(2) 设二面角A1－AB－C的正切值为.求直线AA1与平面BCC1B1的距离。

19.（本小题满分12分）甲乙两支蓝球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入50万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．

（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为350万元的概率；

（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为
，求
的均值
．

20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
在直线
上，点
满足
，
，点
的轨迹为曲线
.

（1）求
的方程；

（2）设直线
与曲线
有唯一公共点
，且与直线
相交于点
,试探究，在坐标平面内是否存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由.

21. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ex－kx2(e为自然对数的底数)，x∈R.

(1)若k＝，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞1；

(2)若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围；

(3)求证：…＜e4(n∈N*)．

四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在直角
中，
，
为
边上异于
的一点，以
为直径作
，分别交
于点
．（Ⅰ）证明：
四点共圆；（Ⅱ）若
为
中点，且
，求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线
的极坐标方程为
，F1是圆锥曲线
的左焦点．直线
：
(t为参数) ．（Ⅰ）求圆锥曲线
的直角坐标方程和直线
的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线
与圆锥曲线
交于
两点，求|F1M|+|F1N|．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，
.

（1）解关于
的不等式
；

（2）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围.

参考答案

1.D 2. B 3. A 4.D 5. C 6. C 7.C 8. C 9.A 10. C 11. C 12. D

13.

14.
或

15.1 16.

17. 【解析】（1）
为锐角

18. 【解析】(1)因为A1D⊥平面ABC，A1D
平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC，

又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连接A1C.

因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.

由三垂线定理得AC1⊥ A1B.

(2)方法（1）BC⊥平面AA1C1C，BC
平面BCC1B1.故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.

作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.

作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB，

故∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角．

设AD=x则A1D=
，
，而tan∠A1FD＝＝,

故x=1 所以D是AC的中点

为直线AA1与平面BCC1B1的距离

方法（2）可以建立空间坐标系来做，略

19. 【解析】（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为50，公差为10的等差数列．

设此数列为
，则易知
，

解得
（舍去）或
，所以此决赛共比赛了5场．

则前4场比赛的比分必为
，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为
；

（II）随机变量
可取的值为
，即260，350，450，560

又

所以，
的分布列为

260

350

450

560















所以
的均值为
435.625万元

20. 【解析】(1)设
,由
得
,又
，∴
,
,
.由
得
即

，∴曲线
的方程式为
.

（2）解法1：由曲线C关于
轴对称可知，若存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，

则点
必在
轴上，设
，又设点
，由直线
与曲线
有唯一公共点
知，直线
与曲线
相切，由
得
，∴
，∴直线
的方程为

令
得
，∴
点的坐标为
，

∵点
在以
为直径的圆上，∴

要使方程
对
恒成立，必须有
解得
，

∴在坐标平面内存在点
，使得以
为直径的圆恒过点
，其坐标为
．

21. 【解析】(1)f(x)＝ex－x2，记h(x)＝f′(x)＝ex－x，则h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)．

∴f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.

(2)(方法1)f′(x)＝ex－2kx，下面求使f′(x)≥0(x＞0)恒成立的k的取值范围．

若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，

当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当k≥时，φ(x)在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，

由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤. 综上，k的取值范围为.

(方法2)f′(x)＝ex－2kx，下面求使f′(x)≥0(x＞0)恒成立的k的取值范围．即k≤(x＞0)恒成立，记φ(x)＝(x＞0)，则φ′(x)＝·＝·(x＞0)，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

φ(x)min＝φ(1)＝，则k≤(x＞0)．∴k的取值范围为.

(3)(方法1)由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1.则ln(2x2＋1)＜2x，

从而ln＜(n∈N*)，于是ln＋ln＋ln＋…＋ln＜＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋＝2＋2(1－＋－＋…＋－)＝4－＜4，故…＜e4(n∈N*)．

(方法2)由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1，则ln(2x2＋1)＜2x，

从而有ln＜(n∈N*)，又＝＜＝＝2，

∴＋