NCS(南昌市)20160607项目第一次模拟测试卷

数 学（文）

第I卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

(1)在复平面内，复数（1+
对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合A={x|y=
），B= {y| y-l<0），则A
B=

(A)(一∞,1) (B)(一∞,1] (C)[0,1) (D)[0,1]

(3)已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点

中心对称，则下列命题是真命题的是

(A)p
q (B) p
q (C)( p)
( q) (D)p
(q)

(4)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x=3，y=3.5，则由该观测数据算得

的线性同归方程可能是

(A)
=0.4x+2.3 (B)
=2x - 2.4

(C)
=-2x+9.5 (D)
=-0.3x+4.4

(5)执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，

则可输入的实数x的个数为

(A)l (B)2

(C)3 (D)4

(6)已知函数f(x)=
则下列结论正确的是

(A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是增函数

(C)f(x)是周期函数 (D)f(x)的值域为[-1，+∞)

(7)设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是

(A)若a∥α，b∥α，则a∥b (B)若a⊥α，a∥b，则b⊥α

(C)若a⊥α，a⊥b，则b∥α (D)若a∥α，a⊥b，则b⊥α

(8)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为
，则前4项倒数的和为

(A)
(B)
（C)1 (D)2

(9)已知抛物线C：y2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交

点，若FP=3FQ，则|QF|=

(A)
(B)

(C)3 (D)2

(10)如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画山的是某几何体的

三视图，则这个儿何体的体积为

(A)2 (B)3

(C)4 (D)5

(11)已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，

线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0

(A)[一
，0） (B)（一
，0）

(C)（一
，+∞） (D)（一∞，一
）
（0,+∞)

(12)已知函数f(x)=
，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是

(A) (-∞，0] (B)(一∞，1] (C)[一3，0] (D)[一3，1]

第II卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22

题～第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

(13)已知函数f(x)=
，则f[f(一4)]=____．

(14)已知向量a=(1，
)，向量a，c的夹角是
，a·c=2，则|c|等于 。

(15)已知双曲线
=l的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为 。

(16)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+Sn一1=2n-l (n>2)，且S2 =3，则a1+a3的值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

已知函数f(x)=（
sin
x+ cos
x）cos
x一
（x
R，
>0）．若f(x)）的最小止周期为4
．

( I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)

的取值范围．

(18)（本小题满分12分）

如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1

DC=SD=2，M．N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．

(I)证明：MN//平面ABCD；

(II)证明：DE⊥平面SBC．

(19)（本小题满分12分）

现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参

加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．

( I)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；

(II)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率，

(20)（本小题满分12分）

已知椭圆C：
=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直

线x+y+2
一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线

CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．

(i)求k1k2的值： (ii)求OB2+ OC2的值．

(21)（本小题满分l2分）

已知函数f(x)=lnx-ax2一a+2．（a∈R，a为常数）

(I)讨论函数f(x)的单凋性；

(II)若存在x∈(0，1]，使得对任意的a∈(-2，0]，不等式mea+f(x0）>0（其中e为自然对数

的底数）都成立，求实数m的取值范围．

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，

则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图， 圆M与圆N交于A， B两点， 以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、

D两点，延长DB交圆M于点E， 延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10.

(I)求AB的长；

（II）求
。

(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

己知曲线C的极坐标方程是ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
（t是参数）．

( I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

( II)若直线，与曲线c相交于A、B两点，且|AB|=
，求直线的倾斜角a的值．

(24)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=
的最大值为M.

(I)求实数M的值；

(II)求关于x的不等式|x一
|+| x+2
|≤M的解集。

NCS20160607项目第一次模拟测试卷

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

答案：（1）（B） （2）（C） （3）（B） （4）（A） （5）（B） （6） （D）

（7）（B） （8）（D） （9）（A） （10）（C） （11）（D） （12）（C）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

答案：（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解：（I）

．

，
．由
，

得
．

∴
的单调递增区间为
------------------（6分）

（Ⅱ）由正弦定理得，
， ∴
．

或：
，
，∴
．（略）

∵

，∴
． 又
，

．
．
．------------------（12分）

（18）（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连
，∵
分别为
的中点，

∴

又∵
平面

平面

∴
平面
-----------------（5分）

(Ⅱ) 连
，∵
，

∴

又
底面
，
底面

∴

∵
，∴
平面

∵
平面
，∴

又
，

当
时，
，

在
与
中，
，
，

∴

又
，∴

∴
，即
 ∵
，

∴
平面
．------------------（12分）

（19）（本小题满分12分）

解：甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下

文学社

街舞社



1

甲乙丙丁





2

甲乙丙

丁



3

甲乙丁

丙



4

甲丙丁

乙



5

乙丙丁

甲



6

甲乙

丙丁



7

甲丙

乙丁



8

乙丙

甲丁



9

甲丁

乙丙



10

乙丁

甲丙



11

丙丁

甲乙



12

甲

乙丙丁



13

乙

甲丙丁



14

丙

甲乙丁



15

丁

甲乙丙



16



甲乙丙丁





共有16种情形，即有16个基本事件 ------------------------（6分）

（I）文学社和街舞社没有人参加的基本事件有2个，概率为
；------------（9分）

（II）甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，

概率为
----------------------------------------------------------------（12分）

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆
的右焦点
，则

由题意，以椭圆
的右焦点为圆心，以椭圆的长半

轴长为半径的圆的方程为
，

∴圆心到直线
的距离

（*）………………………1分

∵椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴
,
， 代入（*）式得
，
，

故所求椭圆方程为
………………………………………4分

（Ⅱ）（i）设
，则
，

于是
---------（8分）

（ii）方法一由（i）知，
，故
．

所以，

即
，所以，
．

又
，故
．

所以，OB2+OC2 ?
．------------------（12分）

方法二来 由（i）知，
．将直线
方程代入椭圆
中，

得
．同理，
．

所以，
．

下同方法一．------------------（12分）

（21）（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)函数
的定义域为
，
，

当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增；

当
时，由
且
解得
，

所以函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．-----（6分）

（II）由（1）知道当
时，函数
在区间
上单调递增，

所以
时，函数
的最大值是
，

对任意的
，都存在
，不等式
都成立，

等价于对任意的
，不等式
都成立，

即对任意的
，不等式
都成立，

不等式
可化为
，

记
，则
，

所以
的最大值是
，

所以实数
的取值范围是
．------------------（12分）

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）根据弦切角定理，

知
，
，

∴△
∽△
，则
，

故
．--------（5分）

（Ⅱ）根据切割线定理，知
，
，

两式相除，得
（*）．

由△
∽△
，得
，
，

又